Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica

Dada la progresión geométrica de término general $a_n=\displaystyle{a_1 \cdot r^{n-1}}$ , la fórmula que nos permite calcular la suma de sus n primeros términos es $$S_n = \frac{a_{1} \cdot (r^{n} - 1)}{r-1}$$

Demostración:

En una progresión geométrica, cada término se obtiene del anterior multiplicando por una cantidad constante $r$ llamada razón. $$\left\{\begin{array}{ll} r=\displaystyle{\frac{a_{k+1}}{a_k}}, \forall k \in \mathbb{N} & \mathbf{\hbox{ (Razón) }}\\ a_n=\displaystyle{a_1 \cdot r^{n-1}} & \mathbf{\hbox{ (Término general) }}\\ \end{array}\right.$$

Denotamos por $S_{n}$ la suma de los n primeros términos de la progresión geométrica: $$S_{n}=a_{1}+a_{2}+ \cdots + a_{n-1}+a_{n}$$

Teniendo en cuenta que: $$r=\displaystyle{\frac{a_{n+1}}{a_n}} \Rightarrow a_{n+1}=r \cdot a_{n}$$

Multiplicando por la razón y restando ambas igualdades: $$r \cdot S_{n}=r \cdot (a_{1}+a_{2}+ \cdots + a_{n-1}+a_{n}) =$$ $$= r \cdot a_{1}+r \cdot a_{2}+ \cdots + r \cdot a_{n-1}+r \cdot a_{n} =$$ $$= a_{2}+a_{3}+ \cdots + a_{n}+a_{n+1}$$ $$\left\{\begin{array}{l} r \cdot S_n = a_{2}+a_{3}+ \cdots + a_{n}+a_{n+1}\\ -S_n = - (a_{1}+a_{2}+ \cdots + a_{n-1}+a_{n})\\ \end{array}\right. \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} r \cdot S_n = a_{2}+a_{3}+ \cdots + a_{n}+a_{n+1}\\ -S_n = -a_{1}-a_{2}- \cdots - a_{n-1}-a_{n}\\ \end{array}\right.$$

Sumando ambas expresiones: $$(r-1) \cdot S_n = a_{2}+a_{3}+ \cdots + a_{n}+a_{n+1} - a_{1} - a_{2} - \cdots - a_{n-1} - a_{n} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow(r-1) \cdot S_n = a_{n+1} - a_{1} \Rightarrow S_n = \frac{a_{n+1} - a_{1}}{r-1} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow S_n = \frac{a_{1} \cdot r^{n} - a_{1}}{r-1} \Rightarrow S_n = \frac{a_{1} \cdot (r^{n} - 1)}{r-1}$$

Tal y como queríamos demostrar.