Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica
Dada la progresión geométrica de término general \(a_n=\displaystyle{a_1 \cdot
r^{n-1}}\) , la fórmula que nos permite calcular la suma de sus n primeros
términos es $$S_n = \frac{a_{1} \cdot (r^{n} - 1)}{r-1}$$
Demostración:
En una progresión geométrica, cada término se obtiene del anterior
multiplicando por una cantidad constante \( r \) llamada razón. $$
\left\{\begin{array}{ll} r=\displaystyle{\frac{a_{k+1}}{a_k}}, \forall k \in
\mathbb{N} & \mathbf{\hbox{ (Razón) }}\\ a_n=\displaystyle{a_1 \cdot
r^{n-1}} & \mathbf{\hbox{ (Término general) }}\\ \end{array}\right. $$
Denotamos por \(S_{n}\) la suma de los n primeros términos de la progresión
geométrica: $$S_{n}=a_{1}+a_{2}+ \cdots + a_{n-1}+a_{n}$$
Teniendo en cuenta que: $$r=\displaystyle{\frac{a_{n+1}}{a_n}} \Rightarrow
a_{n+1}=r \cdot a_{n}$$
Multiplicando por la razón y restando ambas igualdades: $$r \cdot S_{n}=r
\cdot (a_{1}+a_{2}+ \cdots + a_{n-1}+a_{n}) = $$ $$ = r \cdot a_{1}+r \cdot
a_{2}+ \cdots + r \cdot a_{n-1}+r \cdot a_{n} = $$ $$ = a_{2}+a_{3}+ \cdots +
a_{n}+a_{n+1}$$ $$ \left\{\begin{array}{l} r \cdot S_n = a_{2}+a_{3}+ \cdots +
a_{n}+a_{n+1}\\ -S_n = - (a_{1}+a_{2}+ \cdots + a_{n-1}+a_{n})\\
\end{array}\right. \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} r
\cdot S_n = a_{2}+a_{3}+ \cdots + a_{n}+a_{n+1}\\ -S_n = -a_{1}-a_{2}- \cdots
- a_{n-1}-a_{n}\\ \end{array}\right.$$
Sumando ambas expresiones: $$(r-1) \cdot S_n = a_{2}+a_{3}+ \cdots +
a_{n}+a_{n+1} - a_{1} - a_{2} - \cdots - a_{n-1} - a_{n} \Rightarrow $$
$$\Rightarrow(r-1) \cdot S_n = a_{n+1} - a_{1} \Rightarrow S_n = \frac{a_{n+1}
- a_{1}}{r-1} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow S_n = \frac{a_{1} \cdot r^{n} -
a_{1}}{r-1} \Rightarrow S_n = \frac{a_{1} \cdot (r^{n} - 1)}{r-1}$$
Tal y como queríamos demostrar.