Fórmula Ecuación 2º grado
La fórmula que nos permite resolver una ecuación de 2º grado en forma general
\(ax^2+bx+c=0\) es $$x=\displaystyle{\frac{-b \pm \sqrt[]{b^2-4ac}}{2a}}$$
Demostración:
Dada la ecuación de 2º grado en forma general \(ax^2+bx+c=0\)
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por \(4a\): $$4a(ax^2+bx+c)=4a
\cdot 0$$
Desarrollando la expresión: $$4a^2x^2+4abx+4ac=0$$
Sumando en ambos miembros de la ecuación \(b^2\): $$4a^2x^2+4abx+4ac+b^2=b^2$$
Pasando al segundo término de la ecuación el monomio \(4ac\):
$$4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac$$
Escribiendo el primer término de la ecuación en forma de producto notable:
$$(2ax+b)^2=b^2-4ac$$
Tomando raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación:
$$\displaystyle{\sqrt[]{(2ax+b)^2}}=\displaystyle{\pm \sqrt[]{b^2-4ac}}$$
Simplificando: $$2ax+b=\displaystyle{\pm \sqrt[]{b^2-4ac}}$$
Despejando \(x\): $$x=\displaystyle{\frac{-b \pm \sqrt[]{b^2-4ac}}{2a}}$$
Tal y como queríamos demostrar.