DERIVADAS (FORMULARIOS)

Tasa de variación

$$\left\{\begin{array}{l} TVM(f[a,b]) = \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \mathbf{\hbox{ (Tasa de Variación Media) }}\\ TVI(f(a))=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \mathbf{\hbox{ (Tasa de Variación Instantánea) }}\\ \end{array}\right.$$

Derivada a partir de la definición

$$f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \hbox{ ya que si } \left\{\begin{array}{l} h=x-x_0 \Rightarrow x=x_0+h\\ x\rightarrow x_0 \Rightarrow h \rightarrow 0 \end{array}\right.$$

Derivadas elementales (Regla de la cadena)

$$\left\{\begin{array}{l} y=k \Rightarrow y'=0\\ y=x^n \Rightarrow y'=nx^{n-1} \hbox{ } \rightarrow \hbox{ } y=\displaystyle{(f(x))}^{n} \Rightarrow y'=n \displaystyle{(f(x))}^{n-1} f'(x)\\ y=\sqrt[n]{x} \Rightarrow y'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} \hbox{ } \rightarrow \hbox{ } y=\sqrt[n]{f(x)} \Rightarrow y'=\frac{f'(x)}{n\sqrt[n]{(f(x))^{n-1}}}\\ y=a^{x} \Rightarrow y'=a^{x}Ln(a) \hbox{ } \rightarrow \hbox{ } y=a^{f(x)} \Rightarrow y'=a^{f(x)}Ln(a) f'(x)\\ y=e^{x} \Rightarrow y'=e^{x} \hbox{ } \rightarrow \hbox{ } y=e^{f(x)} \Rightarrow y'=e^{f(x)} f'(x)\\ y=log_a(x) \Rightarrow y'=\frac{1}{xLn(a)} \hbox{ } \rightarrow \hbox{ } y=log_a(f(x)) \Rightarrow y'=\frac{f'(x)}{f(x)Ln(a)}\\ y=Ln(x) \Rightarrow y'=\frac{1}{x} \rightarrow y=Ln(f(x)) \hbox{ } \Rightarrow \hbox{ } y'=\frac{f'(x)}{f(x)}\\ \end{array}\right.$$

Derivadas de funciones trigonométricas (Regla de la cadena)

$$\left\{\begin{array}{l} y=sen(x) \Rightarrow y'=cos(x) \rightarrow y=sen(f(x)) \hbox{ } \Rightarrow \hbox{ } y'=cos(f(x)) f'(x)\\ y=cos(x) \Rightarrow y'=-sen(x) \rightarrow y=cos(f(x)) \hbox{ } \Rightarrow \hbox{ } y'=-sen(f(x)) f'(x)\\ y=tan(x) \Rightarrow y'=1+tan^{2}(x) = \frac{1}{cos^{2}(x)} \rightarrow y=tan(f(x)) \hbox{ } \Rightarrow \hbox{ } y'=1+tan^{2}(f(x)) = \frac{f'(x)}{cos^{2}(f(x))}\\ y=cotan(x) \Rightarrow y'=-1-tan^{2}(x) = \frac{-1}{sen^{2}(x)} \rightarrow y=cotan(f(x)) \hbox{ } \Rightarrow \hbox{ } y'=-1-tan^{2}(f(x)) = \frac{-f'(x)}{sen^{2}(f(x))}\\ y=arcsen(x) \Rightarrow y'=\frac{1}{\sqrt[]{1-x^2}} \rightarrow y=arcsen(f(x)) \hbox{ } \Rightarrow \hbox{ } y'=\frac{f'(x)}{\sqrt[]{1-f^2(x)}}\\ y=arccos(x) \Rightarrow y'=\frac{-1}{\sqrt[]{1-x^2}} \rightarrow y=arccos(f(x)) \hbox{ } \Rightarrow \hbox{ } y'=\frac{-f'(x)}{\sqrt[]{1-f^2(x)}}\\ y=arctan(x) \Rightarrow y'=\frac{1}{\sqrt[]{1+x^2}} \rightarrow y=arctan(f(x)) \hbox{ } \Rightarrow \hbox{ } y'=\frac{f'(x)}{\sqrt[]{1+f^2(x)}}\\ \end{array}\right.$$

Álgebra de Derivadas

$$\left\{\begin{array}{l} y=kf(x) \Rightarrow y'=kf'(x)\\ y=f(x) \pm g(x) \Rightarrow y'=f'(x) \pm g'(x)\\ y=f(x)g(x) \Rightarrow y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ y=\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} \Rightarrow y'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\\ y=(f \circ g)(x)=f(g(x)) \Rightarrow y'=(f \circ g)'(x)=f'(g(x)) \cdot g'(x)\\ \end{array}\right.$$

Recta tangente y recta normal

$$\left\{\begin{array}{l} \hbox{Ecuación de la recta } \mathbf{\hbox{tangente }} \hbox{a la curva } y=f(x) \hbox{ en el punto } (x_0,y_0)\\ r: y-y_0 = f'(x_0)(x-x_0)\\ \hbox{Ecuación de la recta } \mathbf{\hbox{normal }} \hbox{a la curva } y=f(x) \hbox{ en el punto } (x_0,y_0)\\ s: y-y_0 = \frac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0)\\ \end{array}\right.$$

Algunos resultados teóricos importantes

Aplicación del Binomio de Newton al cálculo de derivadas

$$\mathbf{\hbox{(Notación)}} \left\{\begin{array}{l} f^{(0}(x)=f(x)\\ f^{(1}(x)=\frac{Df(x)}{dx}=f'(x)\\ f^{(2}(x)=\frac{D^2f(x)}{dx^2}=f''(x)\\ \cdots\\ f^{(n}(x)=\frac{D^nf(x)}{dx^n}\\ \end{array}\right.$$

Derivada n-ésima del producto de dos funciones

$$(f \cdot g)^{(n}(x) = \binom{n}{0} f^{(n}(x)g^{(0}(x) + \binom{n}{1} f^{(n-1}(x)g^{(1}(x) + \cdots + \binom{n}{n-1} f^{(1}(x)g^{(n-1}(x) + \binom{n}{n} f^{(0}(x)g^{(n}(x)$$ $$\mathbf{\hbox{(Casos particulares)}} \left\{\begin{array}{l} (f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\\ (f \cdot g)''(x) = f''(x) \cdot g(x) + 2f'(x) \cdot g'(x) + f(x) \cdot g''(x)\\ (f \cdot g)'''(x) = f'''(x) \cdot g(x) + 3f''(x) \cdot g'(x) + 3f'(x) \cdot g''(x) + f(x) \cdot g'''(x)\\ \end{array}\right.\\ $$