2ºBACH CCSS INTEGRALES (CUESTIONES)

Integral indefinida. Integral definida. Aplicaciones de la integral

Cuestión (#1)

Prueba que si $F: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}$ es una primitiva de la función $f$, entonces lo es también la función $x \in \mathbb{D} \rightarrow F(x)+C$, donde $C$ es una constante cualquiera.

Solución:

Si $F(x)$ es una primitiva de $f(x) \Rightarrow F'(x)=f(x)$

Aplicando la linealidad de la derivada:

$\left(F(x)+C\right)'=F'(x)+C'=f(x)+0=f(x) \Rightarrow F(x)+C$ es también una primitiva de $f(x)$

Cuestión (#2)

Consideremos la función $f$ definida por $f(x)=\displaystyle{\frac{1}{x}}, x \neq 0$. ¿Es una primitiva de $f$ la función $F$ definida por $F(x)=Ln(x), x >0$?

Solución:

No, ya que $F'(x)=\left(Ln(x)\right)'=\displaystyle{\frac{1}{x}}, x >0$ es la rama derecha de la hipérbola $y=\displaystyle{\frac{1}{x}}$, y sin embargo, la función dada $y=\displaystyle{\frac{1}{x}}, x \neq 0$, es la hipérbola completa.

Cuestión (#3)

Dos funciones $f$ y $g$ tienen la misma función derivada.

1. ¿Es entonces $f-g$ una función constante?

2. ¿Es $f-g$ constante en cada intervalo del dominio de derivabilidad?

Solución:

Si dos funciones $f$ y $g$ tienen la misma función derivada, entonces se diferencian en una constante:

$f'(x)=g'(x) \Rightarrow \displaystyle{\int{f'(x)dx}}=\displaystyle{\int{g'(x)dx}} \Rightarrow f(x)+C_1=g(x)+C_2 \Rightarrow f(x)-g(x)=C_2-C_1 \Rightarrow f(x)-g(x)=C$

1. No, ya que puede ser una función a trozos y ambas funciones se diferenciarían en una constante en cada trozo, por lo que en cada trozo sería constante, pero ambas constantes puden ser distintas.

2. Sí, en cada intervalo del dominio de derivabilidad sería constante.

Cuestión (#4)

Una función coincide en todo punto con su derivada. ¿De qué función puede tratarse?

Solución:

• Caso 1: $f(x)=0 \Rightarrow f'(x)=0$

• Caso 2: $f(x)=e^{x} \Rightarrow f'(x)=e^{x}$

Cuestión (#5)

Comprueba que si $n \neq 1$, $\displaystyle{\int{\frac{1}{x^n}dx}}=\displaystyle{\frac{-1}{(n-1)x^{n-1}}}+C$

Solución:

Sea $F(x)=\displaystyle{\frac{-1}{(n-1)x^{n-1}}}+C, n \neq 1$.

Sea $F'(x)=\left(\displaystyle{\frac{-1}{(n-1)x^{n-1}}}+C\right)'=\left(\displaystyle{\frac{-1}{(n-1)}} \cdot \displaystyle{\frac{1}{x^{n-1}}}\right)'+C'=\displaystyle{\frac{-1}{(n-1)}} \cdot \left(\displaystyle{\frac{1}{x^{n-1}}}\right)'+0=$.

$=\displaystyle{\frac{-1}{(n-1)}} \cdot \displaystyle{\frac{1' \cdot x^{n-1} - 1 \cdot (n-1)x^{n-1-1}}{\left(x^{n-1}\right)^2}}=\displaystyle{\frac{-1}{(n-1)}} \cdot \displaystyle{\frac{0 \cdot x^{n-1} - 1 \cdot (n-1)x^{n-2}}{x^{2(n-1)}}}=$.

$=\displaystyle{\frac{-1}{(n-1)}} \cdot \displaystyle{\frac{-(n-1)x^{n-2}}{x^{2n-2}}}=\displaystyle{\frac{(n-1)x^{n-2}}{(n-1)x^{2n-2}}}=\displaystyle{\frac{1}{x^{(2n-2)-(n-2)}}}=\displaystyle{\frac{1}{x^{2n-2-n+2}}}=\displaystyle{\frac{1}{x^{n}}}, n \neq 1$.

Cuestión (#6)

Una primitiva de la función continua $f(x)$ es la función $F(x)$. Obtén una primitiva de $f$ que pase por el origen de coordenadas.

Solución:

Si una primitiva de la función continua $f(x)$ es la función $F(x) \Rightarrow$ La función $y=F(x)+C$, $C$ constante, también es una primitiva de $f(x)$.

Si pasa por el punto $(0,0)$, sustituyendo en $y=F(x)+C$ se obtiene que: $F(0)+C=0 \Rightarrow C=-F(0)$

Por tanto, la primitiva buscada es $y=F(x)-F(0)$.

Cuestión (#7)

Si la gráfica de una función $y=f(x)$ es una línea recta. ¿Cómo es la gráfica de una primitiva de ella?

Solución:

La ecuación de una recta es $f(x)=ax+b, a \neq 0$.

Una primitiva suya es de la forma $F(x)=\displaystyle{\int{\left(ax+b\right)dx}}, a \neq 0$.

$F(x)=\displaystyle{\int{\left(ax+b\right)dx}}=\displaystyle{a\int{xdx}}+\displaystyle{b\int{1dx}}=\displaystyle{a\left(\frac{x^2}{2}\right)}+bx+C=\displaystyle{\frac{ax^2}{2}}+bx+C, a \neq 0$

Por tanto, la gráfica de una primitiva suya es una parábola.

Cuestión (#8)

Obtén una primitiva de la función representada a continuación:

Solución:

La ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-2,0)$ y $B(0,2)$ es $y=x+2$.

$\overrightarrow{AB}=B-A=(0,2)-(-2,0)=(2,2) \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} m=\displaystyle{\frac{2}{2}}=1\\ n=2\\ \end{array}\right.$

Una primitiva suya es de la forma $F(x)=\displaystyle{\int{\left(x+2\right)dx}}$.

$F(x)=\displaystyle{\int{\left(x+2\right)dx}}=\displaystyle{\int{xdx}}+\displaystyle{2\int{1dx}}=\displaystyle{\frac{x^2}{2}}+2x+C$

Por tanto, la gráfica de una primitiva suya es una parábola $y=\displaystyle{\frac{x^2}{2}}+2x$ y las traslaciones verticales de $C$ unidades de la misma.

Cuestión (#9)

Comprueba que $\displaystyle{\int{2x cos(x)dx}} \neq x^2sen(x)+C$

Solución:

Sea $F(x)=x^2sen(x)+C$ y $f(x)=2x cos(x)$

Queremos comprobar que $F(x) \neq \displaystyle{\int{f(x)dx}} \Rightarrow F'(x) \neq f(x)$

Aplicando la regla de la cadena:

$F'(x)=\left(x^2sen(x)+C\right)'= \left(x^2sen(x)\right)'+C'= 2x sen(x)+x^2 (-cos(x))+0=$

$= 2x sen(x)-x^2 cos(x) \neq 2x cos(x) = f(x)$

Cuestión (#10)

Tras analizar la cuestión anterior, ¿Es la integral indefinida de un producto el producto de las integrales indefinidas de los factores?

Solución:

No, ya que la Cuestión (#9) es un ejemplo donde no se cumple. De ser cierto, debería cumplirse siempre.

Cuestión (#11)

Halla $f(x)$ sabiendo que:

1. $\displaystyle{\int{f(x)dx}}=x^3-x+C$
2. $\displaystyle{\int{f(x)dx}}=Ln(3x+1)+C$
3. $\displaystyle{\int{f(x)dx}}=sen(2x+1)+C$

Solución:

1. $F(x)=x^3-x+C \Rightarrow f(x)=F'(x)=\left(x^3-x+C\right)'=3x^2-1+0=3x^2-1$
2. $F(x)=Ln(3x+1)+C \Rightarrow f(x)=F'(x)=\left(Ln(3x+1)+C\right)'=\displaystyle{\frac{3}{3x+1}}+0=\displaystyle{\frac{3}{3x+1}}$
3. $F(x)=sen(2x+1)+C \Rightarrow f(x)=F'(x)=\left(sen(2x+1)+C\right)'=2cos(2x+1)+0=2cos(2x+1)$

Cuestión (#12)

Obtén la función $u$ sabiendo que $\displaystyle{\int{2xcos(x^2)dx}}=u(x^2)+C$

Solución:

$u(x)=sen(x)$

Aplicando la regla de la cadena: $\left(sen(x^2)+C\right)'=2xcos(x^2)$.

Cuestión (#13)

Dada la función $f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x)= \left\{\begin{array}{lcc} 1 & si & x < 0\\ 2x & si & x > 0\\ \end{array}\right.$, encuentra una función continua $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que

• $F'(x)=f(x),x \neq 0$
• $F(0)=5$

¿Es $F$ derivable para $x=0$?

Solución:

$F(x)$ se obtiene integrando cada uno de los trozos de la función $f(x)$:

$F(x)=\left\{\begin{array}{lcc} x+C_1 & si & x < 0\\ x^2+C_2 & si & x > 0\\ \end{array}\right.$

Como $F(x)$ es continua en $x=0$:

1. $F(0)=5$
2. $\left\{\begin{array}{l} F(0^{-}=\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^{-}} (x+C_1)}=0+C_1=C_1\\ F(0^{+}=\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^{+}} (x^2+C_2)}=0^2+C_2=C_2\\ \end{array}\right.\Rightarrow C_1=C_2=5$

$F(x)=\left\{\begin{array}{lcc} x+5 & si & x \leq 0\\ x^2+5 & si & x > 0\\ \end{array}\right.$

Pero $F(x)$ no es derivable para $x=0$, ya que su derivada es $f(x)$ y no es continua para $x=0$ al no estar definida para ese valor.

Cuestión (#14)

Demuestra que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x)= \left\{\begin{array}{lcc} 1 & si & x \leq 0\\ 2x & si & x > 0\\ \end{array}\right.$, no es la función derivada de ninguna $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.

Solución:

Si cierta función $F(x)$ fuera una primitiva de $f(x)$, entonces $F(x)$ sería derivable y $F'(x)=f(x)$.

Como ser derivable implica ser continua, entonces $f(x)$ sería continua en $\mathbb{R}$, pero $f(x)$ no es continua en $x=0$ porque no coinciden los límites laterales cuando $x \rightarrow 0$.

Continuidad en $x=0$

$\left. \begin{array}{l} 1) f(0)=1\\ 2) \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)= \left \{ \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^{-}} 1=1\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^{+}} 2x=2 \cdot 0=0\\ \end{array} \right.\\ \end{array} \right\} \Rightarrow f(x)$ no es continua en $x=0$