Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

Dada la progresión geométrica de término general $a_n=\displaystyle{a_1 \cdot r^{n-1}}, |r| \lt 1$ , la fórmula que nos permite calcular la suma de sus infinitos términos es: $$S_{\infty}=\displaystyle{\frac{a_1}{1-r}}$$

Demostración:

En una progresión geométrica, la suma de sus n primeros términos es: $$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \frac{a_{1} \cdot (r^{n} - 1)}{r-1}$$

Se define: $$S_{\infty}=\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n}}$$

Teniendo en cuenta que $|r| \lt 1$, $$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} r^n}=0$$

Por tanto:

$$S_{\infty}=\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n}}=\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1} \cdot (r^{n} - 1)}{r-1}} = \frac{a_{1} \cdot (0 - 1)}{r-1} = \frac{-a_{1}}{r-1} =\displaystyle{\frac{a_{1}}{1-r}}$$

Tal y como queríamos demostrar.