Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica
Dada la progresión geométrica de término general \(a_n=\displaystyle{a_1 \cdot
r^{n-1}}, |r| \lt 1\) , la fórmula que nos permite calcular la suma de sus
infinitos términos es: $$S_{\infty}=\displaystyle{\frac{a_1}{1-r}}$$
Demostración:
En una progresión geométrica, la suma de sus n primeros términos es: $$S_n =
a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \frac{a_{1} \cdot (r^{n} - 1)}{r-1}$$
Se define: $$S_{\infty}=\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n}}$$
Teniendo en cuenta que \(|r| \lt 1\), $$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow
\infty} r^n}=0$$
Por tanto:
$$S_{\infty}=\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}
S_{n}}=\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1} \cdot (r^{n} -
1)}{r-1}} = \frac{a_{1} \cdot (0 - 1)}{r-1} = \frac{-a_{1}}{r-1}
=\displaystyle{\frac{a_{1}}{1-r}}$$
Tal y como queríamos demostrar.