2ºBACH CCSS INTEGRALES (ACTIVIDADES)

Actividades: Integral indefinida y definida. Aplicaciones de la integral

Actividad (#1)

Obtén una función cuya derivada sea:

1. $f(x)=1$
2. $f(x)=3x^2+1$
3. $f(x)=cos(x)-1$
4. $f(x)=3e^{x}-x^2$
5. $f(x)=\displaystyle{\frac{2}{x}}$, si $x>0$

Solución:

1. $F(x)=\displaystyle{\int{1dx}}=x+C$
2. $F(x)=\displaystyle{\int{(3x^2+1)dx}}=x^3+x+C$
3. $F(x)=\displaystyle{\int{(cos(x)-1)dx}}=sen(x)-x+C$
4. $F(x)=\displaystyle{\int{(3e^{x}-x^2)dx}}=3e^{x}-\displaystyle{\frac{x^3}{3}}+C$
5. $F(x)=\displaystyle{\int{\frac{2}{x}}dx}=2Ln(x)+C$, si $x > 0$

Actividad (#2)

Halla una primitiva de la función $y=2x-1$ que corta al eje de abscisas para $x=-1$.

Solución:

$F(x)=\displaystyle{\int{(2x-1)dx}}=x^2-x-2$

Actividad (#3)

Obtén una primitiva de las siguientes funciones:

1. $f(x)=x-1$ que pasa por $P(2,1)$.
2. $f(x)=x-e^{x}$ que pasa por el origen de coordenadas.
3. $f(x)=3x^2+2x+1$ que se anula para $x=1$.

Solución:

1. $F(x)=\displaystyle{\int{(x-1)dx}}=\displaystyle{\frac{x^2}{2}}-x+1$
2. $F(x)=\displaystyle{\int{(x-e^{x})dx}}=\displaystyle{\frac{x^2}{2}}-e^{x}+1$
3. $F(x)=\displaystyle{\int{(3x^2+2x+1)dx}}=x^3+x^2+x-3$

Actividad (#4)

Obtén la primitiva de la función $y=x^2-sen(x)$ que pasa por el origen de coordenadas.

Solución:

$F(x)=\displaystyle{\int{(x^2-sen(x))dx}}=\displaystyle{\frac{x^3}{3}}+cos(x)-1$

Actividad (#5)

Obtén la expresión de una función $f$ tal que $f'(x)=x^2+2e^{x}$ sabiendo que se anula para $x=0$.

Solución:

$f(x)=\displaystyle{\int{f'(x)dx}}=\displaystyle{\frac{x^3}{3}}+2e^{x}-2$

Actividad (#6)

Obtén $f(x)$ sabiendo que tiene un extremo relativo en el punto $(-1,1)$ y que su derivada segunda viene dada por $f''(x)=6x-12$.

Solución:

$f(x)=x^3-6x^2-15x-7$

Actividad (#7)

Determina la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que para $x=1$ tiene de tangente a $x+12y=13$ y tal que $f''(x)=x^2-1$.

Solución:

$f(x)=\displaystyle{\frac{x^4}{12}}-\displaystyle{\frac{x^2}{2}}+\displaystyle{\frac{7x}{12}}+\displaystyle{\frac{5}{6}}$

Actividad (#8)

Obtén la primitiva de la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ con $f(x)= \left\{\begin{array}{lcc} 2x & si & x < 1\\ 2 & si & x \geq 1\\ \end{array}\right.$ que pasa por el punto $P(1,4)$.

Solución:

$F(x)= \left\{\begin{array}{lcc} x^2+3 & si & x < 1\\ 2x+2 & si & x \geq 1\\ \end{array}\right.$

Actividad (#9)

Obtén $\displaystyle{\int{\left|2x-2\right|dx}}$

¿Qué primitiva pasa por el origen de coordenadas?

Solución:

$F(x)= \left\{\begin{array}{lcc} x^2-2x+2 & si & x \geq 1\\ -x^2+2x & si & x < 1\\ \end{array}\right.$

Actividad (#10)

Obtén las siguientes integrales indefinidas:

1. $\displaystyle{\int{5dx}}$
2. $\displaystyle{\int{xdx}}$
3. $\displaystyle{\int{\frac{1}{x^2}dx}}$
4. $\displaystyle{\int{\frac{1}{x}dx}}$
5. $\displaystyle{\int{x^3dx}}$
6. $\displaystyle{\int{\sqrt[4]{x^5}dx}}$
7. $\displaystyle{\int{\sqrt[3]{x^2}dx}}$
8. $\displaystyle{\int{\frac{1}{\sqrt[3]{x^5}}}dx}$

Solución:

Para resolver cada una de las siguinetes integrales, debemos escribir cada una de las funciones como una potencia de base $x$:

1. $\displaystyle{\int{5dx}}=5x+C$
2. $\displaystyle{\int{xdx}}=\displaystyle{\frac{x^2}{2}}+C$
3. $\displaystyle{\int{\frac{1}{x^2}dx}}=\displaystyle{\frac{-1}{x}}+C$
4. $\displaystyle{\int{\frac{1}{x}dx}}=Ln\left|x\right|+C$
5. $\displaystyle{\int{x^3dx}}=\displaystyle{\frac{x^{4}}{4}}+C$
6. $\displaystyle{\int{\sqrt[4]{x^5}dx}}=\displaystyle{\frac{4x^2\sqrt[4]{x}}{9}}+C$
7. $\displaystyle{\int{\sqrt[3]{x^2}dx}}=\displaystyle{\frac{3x\sqrt[3]{x^2}}{5}}+C$
8. $\displaystyle{\int{\frac{1}{\sqrt[3]{x^5}}}dx}=\displaystyle{\frac{-3}{2\sqrt[3]{x^2}}}+C$

Actividad (#11)

Halla las primitivas de los siguientes polinomios:

1. $f(x)=x^4+4x^3-5x+2$
2. $f(x)=3x^3+x^2-7x$
3. $f(x)=3x^6+4x^2-1$
4. $f(x)=4x^5+3x^4-2x^3+6x^2-9$
5. $f(x)=ax^2+bx+c$

Solución:

1. $\displaystyle{\int{\left(x^4+4x^3-5x+2\right)dx}}=\displaystyle{\frac{x^5}{5}}+x^4-\displaystyle{\frac{5x^2}{2}}+2x+C$
2. $\displaystyle{\int{\left(3x^3+x^2-7x\right)dx}}=\displaystyle{\frac{3x^4}{4}}+\displaystyle{\frac{x^3}{3}}-\displaystyle{\frac{7x^2}{2}}+C$
3. $\displaystyle{\int{\left(3x^6+4x^2-1\right)dx}}=\displaystyle{\frac{3x^7}{7}}+\displaystyle{\frac{4x^3}{3}}-x+C$
4. $\displaystyle{\int{\left(4x^5+3x^4-2x^3+6x^2-9\right)dx}}=\displaystyle{\frac{2x^6}{3}}+\displaystyle{\frac{3x^5}{5}}-\displaystyle{\frac{x^4}{2}}+2x^3-9x+C$
5. $\displaystyle{\int{\left(ax^2+bx+c\right)dx}}=\displaystyle{\frac{ax^3}{3}}+\displaystyle{\frac{bx^2}{2}}+cx+C$

Actividad (#12)

Obtén las siguientes integrales indefinidas:

1. $\displaystyle{\int{\left(x^2-e^{x}\right)dx}}$
2. $\displaystyle{\int{\left(\frac{2}{x^4}-x^4\right)dx}}$
3. $\displaystyle{\int{\left(1-\frac{3}{x^5}\right)dx}}$
4. $\displaystyle{\int{\left(x-\frac{2}{x}\right)dx}}$
5. $\displaystyle{\int{\left(3x-2sen(x)\right)dx}}$
6. $\displaystyle{\int{\left(3e^x-cos(x)\right)dx}}$

Solución:

1. $\displaystyle{\int{\left(x^2-e^{x}\right)dx}}=\displaystyle{\frac{x^3}{3}}-e^{x}+C$
2. $\displaystyle{\int{\left(\frac{2}{x^4}-x^4\right)dx}}=\displaystyle{-\frac{2}{3x^3}}-\displaystyle{\frac{x^{5}}{5}}+C$
3. $\displaystyle{\int{\left(1-\frac{3}{x^5}\right)dx}}=x+\displaystyle{\frac{3}{4x^4}}+C$
4. $\displaystyle{\int{\left(x-\frac{2}{x}\right)dx}}=\displaystyle{\frac{x^{2}}{2}}-2Ln\left|x\right|+C$
5. $\displaystyle{\int{\left(3x-2sen(x)\right)dx}}=\displaystyle{\frac{3x^{2}}{2}}+2cos(x)+C$
6. $\displaystyle{\int{\left(3e^x-cos(x)\right)dx}}=3e^{x}-sen(x)+C$

Actividad (#13)

Descomponiendo en sumandos las fracciones obtén:

1. $\displaystyle{\int{\frac{x-3}{x}dx}}$
2. $\displaystyle{\int{\frac{x^2-5x+1}{x}dx}}$
3. $\displaystyle{\int{\frac{x^2-3x+1}{x^2}dx}}$
4. $\displaystyle{\int{\frac{x^3-3x^2+x-5}{2x^3}dx}}$
5. $\displaystyle{\int{\frac{\sqrt[]{x}-2x}{x^2}dx}}$
6. $\displaystyle{\int{\frac{3x}{x+4}dx}}$

Solución:

1. $\displaystyle{\int{\frac{x-3}{x}dx}}=x+3Ln\left|x\right|+C$
2. $\displaystyle{\int{\frac{x^2-5x+1}{x}dx}}=\displaystyle{\frac{x^2}{2}}-5x+Ln\left|x\right|+C$
3. $\displaystyle{\int{\frac{x^2-3x+1}{x^2}dx}}=x-3Ln\left|x\right|-\displaystyle{\frac{1}{x}}+C$
4. $\displaystyle{\int{\frac{x^3-3x^2+x-5}{2x^3}dx}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}x-\displaystyle{\frac{3}{2}}Ln\left|x\right|-\displaystyle{\frac{1}{2x}}+\displaystyle{\frac{5}{4x^{2}}}+C$
5. $\displaystyle{\int{\frac{\sqrt[]{x}-2x}{x^2}dx}}=-\displaystyle{\frac{2}{\sqrt[]{x}}}-2Ln\left|x\right|+C$
6. $\displaystyle{\int{\frac{3x}{x+4}dx}}=3x-12Ln\left|x-4\right|+C$

Actividad (#14)

Obtén las siguientes integrales logarítmicas:

1. $\displaystyle{\int{\frac{1}{x-2}dx}}$
2. $\displaystyle{\int{\frac{x^2}{x^3-8}dx}}$
3. $\displaystyle{\int{\frac{e^{x}-2x}{e^{x}-x^2+5}dx}}$
4. $\displaystyle{\int{\frac{cos(x)-sen(x)}{sen(x)+cos(x)}dx}}$

Solución:

1. $\displaystyle{\int{\frac{1}{x-2}dx}}=Ln\left|x-2\right|+C$
2. $\displaystyle{\int{\frac{x^2}{x^3-8}dx}}=\displaystyle{\frac{1}{3}}Ln\left|x^3-8\right|+C$
3. $\displaystyle{\int{\frac{e^{x}-2x}{e^{x}-x^2+5}dx}}=Ln\left|e^{x}-x^2+5\right|+C$
4. $\displaystyle{\int{\frac{cos(x)-sen(x)}{sen(x)+cos(x)}dx}}=Ln\left|sen(x)+cos(x)\right|+C$

Actividad (#15)

Obtén las siguientes integrales de formas compuestas relacionadas con la función exponencial:

1. $\displaystyle{\int{e^{3x-2}dx}}$
2. $\displaystyle{\int{3x^2 e^{x^3-4}dx}}$
3. $\displaystyle{\int{e^{cos(x)}sen(x)dx}}$
4. $\displaystyle{\int{(2x-1) e^{x^2-x}dx}}$

Solución:

1. $\displaystyle{\int{e^{3x-2}dx}}=\frac{1}{3}e^{3x-2}+C$
2. $\displaystyle{\int{3x^2 e^{x^3-4}dx}}=e^{x^3-4}+C$
3. $\displaystyle{\int{e^{cos(x)}sen(x)dx}}=-e^{cos(x)}+C$
4. $\displaystyle{\int{(2x-1) e^{x^2-x}dx}}=e^{x^2-x}+C$

Actividad (#16)

Obtén las siguientes integrales de formas compuestas de forma potencial:

1. $\displaystyle{\int{(3x-2)^3dx}}$
2. $\displaystyle{\int{6x(3x^2-2)^5dx}}$
3. $\displaystyle{\int{x\sqrt[3]{x^2-1}dx}}$
4. $\displaystyle{\int{sen^3(x)cos(x)dx}}$

Solución:

1. $\displaystyle{\int{(3x-2)^3dx}}=\displaystyle{\frac{1}{3}} \displaystyle{\frac{(3x-2)^4}{4}}+C$
2. $\displaystyle{\int{6x(3x^2-2)^5dx}}=\displaystyle{\frac{(3x^2-2)^6}{6}}+C$
3. $\displaystyle{\int{x\sqrt[3]{x^2-1}dx}}=\displaystyle{\frac{3\left(x^2-1\right)\sqrt[3]{x^2-1}}{8}}+C$
4. $\displaystyle{\int{sen^3(x)cos(x)dx}}=\displaystyle{\frac{sen^4(x)}{4}}+C$

Actividad (#17)

Obtén las siguientes integrales de formas compuestas de forma potencial:

1. $\displaystyle{\int{cos(2x-1)dx}}$
2. $\displaystyle{\int{xcos(x^2+1)dx}}$
3. $\displaystyle{\int{3x^4sen(x^5)dx}}$
4. $\displaystyle{\int{sen(10x)dx}}$

Solución:

1. $\displaystyle{\int{cos(2x-1)dx}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}sen(2x-1)+C$
2. $\displaystyle{\int{xcos(x^2+1)dx}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}sen(x^2+1)+C$
3. $\displaystyle{\int{3x^4sen(x^5)dx}}=-\frac{3}{5}cos(x^5)+C$
4. $\displaystyle{\int{sen(10x)dx}}=-\frac{1}{10}cos(10x)+C$

Actividad (#18)

Halla la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sabiendo $f''(x)=12x-6$ y que la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=2$ tiene de ecuación $4x-y-7=0$.

Solución:

$f(x)=\displaystyle{2x^3}-\displaystyle{3x^2}-\displaystyle{8x}+13$

Actividad (#19)

Calcula:

1. $\displaystyle{\int_{0}^{2}{(x^2+x-2)dx}}$
2. $\displaystyle{\int_{-1}^{1}{(x^2-1)dx}}$
3. $\displaystyle{\int_{1}^{2}{\frac{3}{x+2}dx}}$
4. $\displaystyle{\int_{0}^{1}{xe^{x^2}dx}}$

Solución:

1. $F(x)=\displaystyle{\int{(x^2+x-2)dx}}=\displaystyle{\frac{2}{3}}$
2. $F(x)=\displaystyle{\int{(x^2-1)dx}}=-2$
3. $F(x)=\displaystyle{\int{\frac{3}{x+2}dx}}=Ln\left(\displaystyle{\frac{64}{27}}\right)$
4. $F(x)=\displaystyle{\int{xe^{x^2}dx}}=\displaystyle{\frac{e-1}{2}}$

Actividad (#20)

Calcula el área delimitada por la curva $y=x^3-4x$ con el eje de abscisas en el intervalo $[-1,3]$.

Solución:

$Área(\mathbf{R})=Área(\mathbf{R_1})+Área(\mathbf{R_2})+Área(\mathbf{R_3})$

$F(x)=\displaystyle{\int{\left(x^3-4x\right)dx}}=\displaystyle{\frac{x^4}{4}}-2x^2+C$

$Área(\mathbf{R_1})=\displaystyle{\frac{7}{4}}$

$Área(\mathbf{R_2})=4$

$Área(\mathbf{R_3})=\displaystyle{\frac{25}{4}}$

$Área(\mathbf{R})=12$