PACIENCIA, PACIENCIA (#12)
PACIENCIA, PACIENCIA: En este día tan especial de felicitaciones a
las madres, nosotros no íbamos a ser menos y felicitamos a la
PACIENCIA, sí, la paciencia, pues dicen que es "la madre de todas las ciencias". Así que ¡Muchas felicidades!. En MatemáTICas como en muchas otras
disciplinas, tener paciencia y no desesperar es fundamental para obtener
resultados satisfactorios. Te planteo un sencillo problema que requeriría
bastante paciencia si quisiéramos obtener no solo el número de posibles
resultados distintos, sino cada uno de esos posibles resultados. Vamos al
grano...
¿Cuántas palabras distintas de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 letras podemos formar
con las diferentes letras que contiene la palabra paciencia permitiendo
que una misma palabra pueda tener letras repetidas? ¿Y si no se permite
que una misma palabra pueda tener letras repetidas?
Dar el resultado correcto no es difícil, pero para escribirlas todas sí
que necesitaríamos bastante paciencia.
Pistas:
-
Principio de Multiplicación: Si un evento A puede ocurrir de
m maneras y un evento B puede ocurrir de n maneras,
entonces los dos eventos pueden ocurrir juntos de m · n maneras.
Este principio se aplica cuando los eventos ocurren uno después del
otro, y el resultado de cada evento afecta al siguiente.
-
Importa el orden, porque nos se forma la misma palabra si las
letras que la componen están en distinto orden.
-
Tenemos que diferenciar el caso en el que las letras que componen la
palabra se puedan o no repetir.
-
Factorial de n
$$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1 \quad \forall n \in
\mathbb{N}$$
-
En Combinatoria, se llaman Variaciones (con repetición o
sin repetición):
$$\left\{\begin{array}{l} \hbox{Sin repetición: }
V_{n,k}=\displaystyle{\frac{n!}{(n-k)!}}=n \cdot (n-1) \cdots
(n-k+1)\\ \hbox{Con repetición: } VR_{n,k}=n^k \end{array}\right.$$
Solución:
De las 9 letras de la palabara PACIENCIA, tenemos 6 letras
distintas cuyas frecuencias de aparición de son las siguientes:
$$\left.\begin{matrix} P \rightarrow 1 \quad vez\\ A \rightarrow 2 \quad
veces\\ C \rightarrow 2 \quad veces\\ I \rightarrow 2 \quad veces\\ E
\rightarrow 1 \quad vez\\ N \rightarrow 1 \quad vez\\
\end{matrix}\right\}$$
Con repetición de letras:
-
Palabras con 1 letra:
$$6 \quad palabras$$
-
Palabras con 2 letras:
$$6^2=36 \quad palabras$$
-
Palabras con 3 letras:
$$6^3=216 \quad palabras$$
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Palabras con 4 letras:
$$6^4=1296 \quad palabras$$
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Palabras con 5 letras:
$$6^5=7776 \quad palabras$$
-
Palabras con 6 letras:
$$6^6=46656 \quad palabras$$
Sin repetición de letras:
-
Palabras con 1 letra:
$$6 \quad palabras$$
-
Palabras con 2 letras:
$$6 \cdot 5=30 \quad palabras$$
-
Palabras con 3 letras:
$$6 \cdot 5 \cdot 4=120 \quad palabras$$
-
Palabras con 4 letras:
$$6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3=360 \quad palabras$$
-
Palabras con 5 letras:
$$6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2=720 \quad palabras$$
-
Palabras con 6 letras:
$$6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=720 \quad palabras$$
