EL MOSAICO DE CUADRADOS (#06)

EL MOSAICO DE CUADRADOS: Por último, hemos transformado el dibujo en una matriz de ceros y unos. Se quiere averiguar en este caso el número de unos que escribiremos en la siguiente matriz al continuar la serie. Tres puntos de vista distintos de un mismo problema. ¿Serías capaz de encontrar el término general de la sucesión que determina el número de unos de las siguientes progresión matricial?

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Pistas:

• Importan los cuadrados perfectos, los números pares y los impares.
• La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

  $$a_n=a_1+(n-1)d, \quad n \geq 1$$

• El cuadrado de una diferencia es:

  $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

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Solución:

Los términos de la sucesión de unos de la figura es la siguiente:

$$0, 4, 16, ...,$$

Se observa que los términos de la sucesión son cuadrados perfectos de números pares consecutivos.

$$0=0^2, 4=2^2, 16=4^2, ...,$$

Los números pares son una progresión aritmética de diferencia \((d)\) igual a 2, cuyo primer término \((d_1)\), en nuestro caso, es el 0.

$$0, 2, 4, ...,$$

$$0, 2=0+2, 4=2+2, ...,$$

Usando la fórmula del término general de una progresión aritmética:

$$a_n=0+(n-1)2, \quad n \geq 1$$

$$a_n=2n-2, \quad n \geq 1$$

Por tanto, elevando al cuadrado, el término genaeral buscado será:

$$b_n=(2n-2)^2, \quad n \geq 1$$

Si desarrollamos su término general usando la identidad notable "cuadrado de una diferencia":

$$b_n=(2n)^2-2 \cdot 2n \cdot 2+2^2, \quad n \geq 1$$

$$b_n=4n^2-8n+4, \quad n \geq 1$$

Si no te has dado cuenta de lo de los cuadrados perfectos de números pares consecutivos, podríamos haber llegado al mismo resultado por otro camino.

La dimensión de cada matriz de ceros y unos de la sucesión son números impares consecutivos, comenzando en 1. La cantidad de números de cada matriz es el cuadrado de ese número impar. Por tanto:

$$1=1^2, 9=3^2, 25=5^2, ...,$$

$$c_n=(2n-1)^2, \quad n \geq 1$$

Observa que el número de ceros coincide con los términos de una progresión aritmética de diferencia igual a 4 cuyo primer término es el 1.

$$1, 5, 9, ...,$$

$$1, 5=1+4, 9=5+4, ...,$$

Usando la fórmula del término general de una progresión aritmética:

$$d_n=1+(n-1)4, \quad n \geq 1$$

$$d_n=4n-3, \quad n \geq 1$$

El número de unos se puede obtener como la diferencia entre la cantidad de números de cada matriz menos el número de ceros.

$$b_n=c_n-d_n, \quad n \geq 1$$

$$b_n=(2n-1)^2-(4n-3), \quad n \geq 1$$

Si desarrollamos su término general usando la identidad notable "cuadrado de una diferencia":

$$b_n=(2n)^2-2 \cdot 2n \cdot 1+1^2-(4n-3), \quad n \geq 1$$

$$b_n=4n^2-4n+1-(4n-3), \quad n \geq 1$$

$$b_n=4n^2-4n+1-4n+3, \quad n \geq 1$$

$$b_n=4n^2-8n+4, \quad n \geq 1$$

Y como puedes ver, llegamos al mismo resultado.