EL MOSAICO DE CUADRADOS (#04)

EL MOSAICO DE CUADRADOS: Si eres aficionado a los juegos de lógica, te planteo un problema de progresiones que te entretendrá un rato. Se pretende saber el número de cuadrados negros que acabaremos pintando al continuar la serie. ¿Serías capaz de encontrar el término general de la sucesión que determina el número de cuadrados negros de las siguiente progresión?

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Pistas:

• Importan los cuadrados perfectos, los números pares y los impares.
• La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

  $$a_n=a_1+(n-1)d, \quad n \geq 1$$

• El cuadrado de una diferencia es:

  $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

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Solución:

Los términos de la sucesión de cuadrados negros de la figura es la siguiente:

$$0, 4, 16, ...,$$

Se observa que los términos de la sucesión son cuadrados perfectos de números pares consecutivos.

$$0=0^2, 4=2^2, 16=4^2, ...,$$

Los números pares son una progresión aritmética de diferencia \((d)\) igual a 2, cuyo primer término \((d_1)\), en nuestro caso, es el 0.

$$0, 2, 4, ...,$$

$$0, 2=0+2, 4=2+2, ...,$$

Usando la fórmula del término general de una progresión aritmética:

$$a_n=0+(n-1)2, \quad n \geq 1$$

$$a_n=2n-2, \quad n \geq 1$$

Por tanto, elevando al cuadrado, el término genaeral buscado será:

$$b_n=(2n-2)^2, \quad n \geq 1$$

Si desarrollamos su término general usando la identidad notable "cuadrado de una diferencia":

$$b_n=(2n)^2-2 \cdot 2n \cdot 2+2^2, \quad n \geq 1$$

$$b_n=4n^2-8n+4, \quad n \geq 1$$

Si no te has dado cuenta de lo de los cuadrados perfectos de números pares consecutivos, podríamos haber llegado al mismo resultado por otro camino.

Las dimensiones de cada cuadrado grande de la sucesión son números impares consecutivos, comenzando en 1. El número de cuadraditos de cada cuadrado es el cuadrado de ese número impar. Por tanto:

$$1=1^2, 9=3^2, 25=5^2, ...,$$

$$c_n=(2n-1)^2, \quad n \geq 1$$

Observa que el número de cuadrados blancos coincide con los términos de una progresión aritmética de diferencia igual a 4 cuyo primer término es el 1.

$$1, 5, 9, ...,$$

$$1, 5=1+4, 9=5+4, ...,$$

Usando la fórmula del término general de una progresión aritmética:

$$d_n=1+(n-1)4, \quad n \geq 1$$

$$d_n=4n-3, \quad n \geq 1$$

El número de cuadrados negros se puede obtener como la diferencia entre el número de cuadraditos del cuadrado grande menos el número de cuadrados blancos.

$$b_n=(2n-1)^2-(4n-3), \quad n \geq 1$$

Si desarrollamos su término general usando la identidad notable "cuadrado de una diferencia":

$$b_n=c_n-d_n, \quad n \geq 1$$

$$b_n=(2n)^2-2 \cdot 2n \cdot 1+1^2-(4n-3), \quad n \geq 1$$

$$b_n=4n^2-4n+1-(4n-3), \quad n \geq 1$$

$$b_n=4n^2-4n+1-4n+3, \quad n \geq 1$$

$$b_n=4n^2-8n+4, \quad n \geq 1$$

Y como puedes ver, llegamos al mismo resultado.