LA ÚLTIMA CIFRA (#28)
LA ÚLTIMA CIFRA: Suma los cuadrados de los números naturales hasta el 2013 y averigua cuál será su última cifra.
Pistas:
- Calcula los cuadrados de los primeros diez números naturales e intenta deducir el patrón que sigue.
- No desesperes y usa tu cabeza. Será mejor que usar tu calculadora.
Solución:
$$\left.\begin{matrix} 1^2=1 \rightarrow 1\\ 2^2=4 \rightarrow 4\\ 3^2=9 \rightarrow 9\\ 4^2=16 \rightarrow 6\\ 5^2=25 \rightarrow 5\\ 6^2=36 \rightarrow 6\\ 7^2=49 \rightarrow 9\\ 8^2=64 \rightarrow 4\\ 9^2=81 \rightarrow 1\\ 10^2=100 \rightarrow 0 \end{matrix}\right\}$$
Si nos fijamos en las últimas cifras de los diez primeros cuadrados, se deduce que:
$$0+(1+4+6+9) \cdot 2+5=20 \cdot 2=45$$
Como la última cifra de 45 es 5, la suma de cada 10 cuadrados aportará 5 unidades a la suma total. Si sumamos un número par de veces 5, el resultado acabará en 0 y no aportará nada a las unidades de la suma total. Sin embargo, si sumamos un número impar de veces 5, el resultado acabará en 5 y aportará 5 unidades a la suma total.
En nuestro caso aportará 5 unidades a la suma total ya que 201 veces 10 es un número impar de veces 10:
$$2010=201 \cdot 10 \quad (201 \quad impar) \quad \rightarrow 5$$
$$5+2011^2+2012^2+2013^2$$
Fijándonos de nuevo en las últimas cifras de los números naturales:
$$\left.\begin{matrix} 5 \rightarrow 5\\ 2011 \rightarrow 1^2=1 \\ 2012 \rightarrow 2^2=4 \\ 2013 \rightarrow 3^2=9 \end{matrix}\right\} \Rightarrow 5+1+4+9=19$$
Si nos fijamos en la última cifra de la suma, se deduce que la última cifra de la suma de los cuadrados de los números naturales del 1 al 2013 es el 9.
Para calcular la suma de los cuadrados de los "n" primeros números naturales existe una fórmula que nos da la solución:
$$1^2+2^2+ \cdots +(n-1)^2+n^2$$ $$S_n=\displaystyle{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$
En nuestro caso,