1ºBACH CT TRIGONOMETRÍA

Trigonometría

Cuestión (#1)

Demuestra que, en cualquier circunferencia, el ángulo inscrito tiene una amplitud igual a la mitad de la del ángulo central que abarca su arco. Deduce de lo anterior que todos los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan una misma cuerda son iguales (propiedad del arco capaz). Deduce también de lo anterior que, en cualquier circunferencia, el ángulo inscrito que baraca un diámetro es recto.

Solución:

Cuestión (#2)

Demuestra que en cualquier trińagulo $\triangle{ABC}$ se cumple:

• $tan(\hat{A})+tan(\hat{B})+tan(\hat{C})=tan(\hat{A}) \cdot tan(\hat{B}) \cdot tan(\hat{C})$
• $tan(\hat{A}) \cdot \displaystyle{tan\left(\frac{\hat{B}+\hat{C}}{2}\right)} = 1$
• $sen(\hat{A}) + sen(\hat{B}) + sen(\hat{C}) = 4 \cdot \displaystyle{cos\left(\frac{\hat{A}}{2}\right)} \cdot \displaystyle{cos\left(\frac{\hat{B}}{2}\right)} \cdot \displaystyle{cos\left(\frac{\hat{C}}{2}\right)}$

Solución:

Cuestión (#3)

Deduce el Teorema de Neper o de las tangentes, partiendo del teorema de los senos y usando las transformaciones de sumas y restas en productos: $$\displaystyle{\frac{a+b}{a-b}}=\displaystyle{\frac{tan\left(\displaystyle{\frac{\hat{A}+\hat{B}}{2}}\right)}{tan\left(\displaystyle{\frac{\hat{A}-\hat{B}}{2}}\right)}}$$

Solución:

Cuestión (#4)

Demuestra que el área de un triángulo es la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo comprendido entre ellos.

Solución:

Cuestión (#5)

Demuestra que el área de cualquier cuadrilátero es igual a la mitad del producto de sus diagonales por el seno del ángulo que forman (Deduce este resultado del anterior)

Solución:

Cuestión (#6)

Demuestra que en cualquier trińagulo $\triangle{ABC}$, su superficie es: $$S=\displaystyle{\frac{a^2}{2}} \cdot \displaystyle{\frac{sen(\hat{B}) \cdot sen(\hat{C})}{sen(\hat{B}+\hat{C})}}$$

Solución:

Cuestión (#7)

Demuestra el Teorema de Menelao usando el teorema de los senos.

Solución:

Cuestión (#8)

Demuestra el Teorema de Ceva usando el teorema de los senos.

Solución:

Cuestión (#9)

Demuestra que si $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo $\triangle{ABC}$, entonces: $$\frac{a}{sen(\hat{A})}=\frac{b}{sen(\hat{B})}=\frac{c}{sen(\hat{C})}=2R$$

Solución:

Cuestión (#10)

Demuestra que si $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo $\triangle{ABC}$, la superficie del triángulo es: $$S=\displaystyle{\frac{abc}{4R}}$$

Solución:

Cuestión (#11)

En un triángulo $\triangle{ABC}$, sea $p$ el semiperímetro y sea $r$ el radio de la circunferencia inscrita al triángulo. Demuestra que el área del triángulo viene dada por la fórmula: $$S=p \cdot r$$

Solución:

Cuestión (#12)

Sea $p$ el semiperímetro del triángulo $\triangle{ABC}$. Demuestra que el área del triángulo viene dada por la siguiente igualdad conocida como la Fórmula de Herón: $$S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Solución:

Cuestión (#13)

En un triángulo $\triangle{ABC}$, sea $p$ el semiperímetro y sea $r$ el radio de la circunferencia inscrita al triángulo. Demuestra las siguientes igualdades conocidas como las Fórmulas de Briggs: $$tan\left(\displaystyle{\frac{\hat{A}}{2}}\right)=\sqrt{\displaystyle{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}}=\displaystyle{\frac{r}{p-a}}$$ $$tan\left(\displaystyle{\frac{\hat{B}}{2}}\right)=\sqrt{\displaystyle{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}}=\displaystyle{\frac{r}{p-b}}$$ $$tan\left(\displaystyle{\frac{\hat{C}}{2}}\right)=\sqrt{\displaystyle{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}}=\displaystyle{\frac{r}{p-c}}$$

Solución:

Cuestión (#14)

Demuestra el Teorema de Napoleón, calculando el lado del triángulo construido usando el Teorema de los cosenos.

Teorema de Napoleón: Si se construyen tres triángulos equiláteros apartir de los lados de un triángulo cualquiera, todos al interior o todos al exterior, entonces, los centros de los triángulos equiláteros forman también un triángulo equilátero.

Solución:

Cuestión (#15)

Demuestre que si los puntos $A$, $B$ y $C$ son colineales y $D$ no es colineal con ellos, se cumple que: $$\displaystyle{\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}}=\displaystyle{\frac{\overline{AD} \cdot sen(\widehat{ADB})}{\overline{DC} \cdot sen(\widehat{BDC})}}$$

Solución:

Cuestión (#16)

Dado un triángulo $\triangle{ABC}$, demuestre que es acutángulo, rectángulo u obtusángulo sin realizar ningún dibujo.

Solución: