TRIGONOMETRÍA (FORMULARIOS)

Razones trigonométricas

En un triángulo rectángulo se definen las razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ del siguiente modo:

$$sen(\alpha)=\frac{\hbox{Cateto opuesto}}{\hbox{Hipotenusa}}$$ $$cos(\alpha)=\frac{\hbox{Cateto contiguo}}{\hbox{Hipotenusa}}$$ $$tan(\alpha)=\frac{\hbox{Cateto opuesto}}{\hbox{Cateto contiguo}}$$ $$cosec(\alpha)=\frac{1}{sen(\alpha)}=\frac{\hbox{Hipotenusa}}{\hbox{Cateto opuesto}}$$ $$sec(\alpha)=\frac{1}{cos(\alpha)}=\frac{\hbox{Hipotenusa}}{\hbox{Cateto contiguo}}$$ $$cotan(\alpha)=\frac{1}{tan(\alpha)}=\frac{\hbox{Cateto contiguo}}{\hbox{Cateto opuesto}}$$ $$tan(\alpha)=\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}$$ $$cotan(\alpha)=\frac{cos(\alpha)}{sen(\alpha)}$$

Fórmula fundamental

$$cos^{2}(\alpha)+sen^{2}(\alpha)=1$$

Identidades trigonométricas

$$1+tan^{2}(\alpha)=sec^{2}(\alpha)$$ $$1+cotan^{2}(\alpha)=cosec^{2}(\alpha)$$

Reducción al primer cuadrante

• Ángulos complementarios ($\alpha$ y $90º-\alpha$) $$\left\{\begin{array}{l} sen(90º-\alpha) = cos(\alpha)\\ cos(90º-\alpha) = sen(\alpha)\\ tan(90º-\alpha) = cotan(\alpha) \end{array}\right.$$
• Ángulos suplementarios ($\alpha$ y $180º-\alpha$) $$\left\{\begin{array}{l} sen(180º-\alpha) = sen(\alpha)\\ cos(180º-\alpha) = -cos(\alpha)\\ tan(180º-\alpha) = -tan(\alpha) \end{array}\right.$$
• Ángulos que difieren en 180º ($\alpha$ y $180º+\alpha$) $$\left\{\begin{array}{l} sen(180º+\alpha) = -sen(\alpha)\\ cos(180º+\alpha) = -cos(\alpha)\\ tan(180º+\alpha) = tan(\alpha) \end{array}\right.$$
• Ángulos opuestos ($\alpha$ y $360º-\alpha$ o $-\alpha$) $$\left\{\begin{array}{l} sen(360º-\alpha) = sen(-\alpha) = -sen(\alpha)\\ cos(360º-\alpha) = cos(-\alpha) = cos(\alpha)\\ tan(360º-\alpha) = tan(-\alpha) = -tan(\alpha) \end{array}\right.$$

Razones trigonométricas de la suma y la resta

$$sen(\alpha \pm \beta)=sen(\alpha) \cdot cos(\beta) \pm cos(\alpha) \cdot sen(\beta)$$ $$cos(\alpha \pm \beta)=cos(\alpha) \cdot cos(\beta) \mp sen(\alpha) \cdot sen(\beta)$$ $$tan(\alpha \pm \beta)= \frac{tan(\alpha) \pm tan(\beta)}{1 \mp tan(\alpha) \cdot tan(\beta)}$$

Razones trigonométricas del ángulo doble

$$sen(2\alpha)=2 \cdot sen(\alpha) \cdot cos(\alpha)$$ $$cos(2\alpha)=cos^2(\alpha) - sen^2(\alpha)$$ $$tan(2\alpha)=\frac{2 \cdot tan(\alpha)}{1 - tan^2(\alpha)}$$

Razones trigonométricas del ángulo mitad

$$sen\left (\frac{\alpha}{2}\right )=\pm \sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{2}}$$ $$cos\left (\frac{\alpha}{2}\right )=\pm \sqrt{\frac{1+cos(\alpha)}{2}}$$ $$tan\left (\frac{\alpha}{2}\right )=\pm \sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{1+cos(\alpha)}}$$

Sumas en productos

$$sen(A)+sen(B)=2 \cdot sen\left (\frac{A+B}{2}\right ) \cdot cos\left (\frac{A-B}{2}\right )$$ $$sen(A)-sen(B)=2 \cdot cos\left (\frac{A+B}{2}\right ) \cdot sen\left (\frac{A-B}{2}\right )$$ $$cos(A)+cos(B)=2 \cdot cos\left (\frac{A+B}{2}\right ) \cdot cos\left (\frac{A-B}{2}\right )$$ $$cos(A)-cos(B)=-2 \cdot sen\left (\frac{A+B}{2}\right ) \cdot sen\left (\frac{A-B}{2}\right )$$

Productos en sumas

$$sen(A) \cdot cos(B) = \frac{1}{2} \left [ sen(A+B) + sen(A-B)\right ]$$ $$cos(A) \cdot cos(B) = \frac{1}{2} \left [ cos(A+B) + cos(A-B)\right ]$$ $$sen(A) \cdot sen(B) = \frac{1}{2} \left [ sen(A+B) + sen(A-B)\right ]$$

Teorema de los senos

En todo triángulo se cumple que: $$\frac{a}{sen(\hat{A})}=\frac{b}{sen(\hat{B})}=\frac{c}{sen(\hat{C})}=2R$$ donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Teorema de los cosenos

En todo triángulo se cumple que: $$a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\hat{A})$$ $$b^2=a^2+c^2-2 \cdot a \cdot c \cdot cos(\hat{B})$$ $$c^2=a^2+b^2-2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\hat{C})$$