Razones trigonométricas
En un triángulo rectángulo se definen las razones trigonométricas del ángulo \(\alpha\) del siguiente modo:
$$sen(\alpha)=\frac{\hbox{Cateto opuesto}}{\hbox{Hipotenusa}}$$
$$cos(\alpha)=\frac{\hbox{Cateto contiguo}}{\hbox{Hipotenusa}}$$
$$tan(\alpha)=\frac{\hbox{Cateto opuesto}}{\hbox{Cateto contiguo}}$$
$$cosec(\alpha)=\frac{1}{sen(\alpha)}=\frac{\hbox{Hipotenusa}}{\hbox{Cateto opuesto}}$$
$$sec(\alpha)=\frac{1}{cos(\alpha)}=\frac{\hbox{Hipotenusa}}{\hbox{Cateto contiguo}}$$
$$cotan(\alpha)=\frac{1}{tan(\alpha)}=\frac{\hbox{Cateto contiguo}}{\hbox{Cateto opuesto}}$$
$$tan(\alpha)=\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}$$
$$cotan(\alpha)=\frac{cos(\alpha)}{sen(\alpha)}$$
Fórmula fundamental
$$cos^{2}(\alpha)+sen^{2}(\alpha)=1$$
Identidades trigonométricas
$$1+tan^{2}(\alpha)=sec^{2}(\alpha)$$
$$1+cotan^{2}(\alpha)=cosec^{2}(\alpha)$$
Reducción al primer cuadrante
- Ángulos complementarios (\(\alpha\) y \(90º-\alpha\))
$$\left\{\begin{array}{l}
sen(90º-\alpha) = cos(\alpha)\\
cos(90º-\alpha) = sen(\alpha)\\
tan(90º-\alpha) = cotan(\alpha)
\end{array}\right.$$
- Ángulos suplementarios (\(\alpha\) y \(180º-\alpha\))
$$\left\{\begin{array}{l}
sen(180º-\alpha) = sen(\alpha)\\
cos(180º-\alpha) = -cos(\alpha)\\
tan(180º-\alpha) = -tan(\alpha)
\end{array}\right.$$
- Ángulos que difieren en 180º (\(\alpha\) y \(180º+\alpha\))
$$\left\{\begin{array}{l}
sen(180º+\alpha) = -sen(\alpha)\\
cos(180º+\alpha) = -cos(\alpha)\\
tan(180º+\alpha) = tan(\alpha)
\end{array}\right.$$
- Ángulos opuestos (\(\alpha\) y \(360º-\alpha\) o \(-\alpha\))
$$\left\{\begin{array}{l}
sen(360º-\alpha) = sen(-\alpha) = -sen(\alpha)\\
cos(360º-\alpha) = cos(-\alpha) = cos(\alpha)\\
tan(360º-\alpha) = tan(-\alpha) = -tan(\alpha)
\end{array}\right.$$
Razones trigonométricas de la suma y la resta
$$sen(\alpha \pm \beta)=sen(\alpha) \cdot cos(\beta) \pm cos(\alpha) \cdot sen(\beta)$$
$$cos(\alpha \pm \beta)=cos(\alpha) \cdot cos(\beta) \mp sen(\alpha) \cdot sen(\beta)$$
$$tan(\alpha \pm \beta)= \frac{tan(\alpha) \pm tan(\beta)}{1 \mp tan(\alpha) \cdot tan(\beta)}$$
Razones trigonométricas del ángulo doble
$$sen(2\alpha)=2 \cdot sen(\alpha) \cdot cos(\alpha)$$
$$cos(2\alpha)=cos^2(\alpha) - sen^2(\alpha)$$
$$tan(2\alpha)=\frac{2 \cdot tan(\alpha)}{1 - tan^2(\alpha)}$$
Razones trigonométricas del ángulo mitad
$$sen\left (\frac{\alpha}{2}\right )=\pm \sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{2}}$$
$$cos\left (\frac{\alpha}{2}\right )=\pm \sqrt{\frac{1+cos(\alpha)}{2}}$$
$$tan\left (\frac{\alpha}{2}\right )=\pm \sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{1+cos(\alpha)}}$$
Sumas en productos
$$sen(A)+sen(B)=2 \cdot sen\left (\frac{A+B}{2}\right ) \cdot cos\left (\frac{A-B}{2}\right )$$
$$sen(A)-sen(B)=2 \cdot cos\left (\frac{A+B}{2}\right ) \cdot sen\left (\frac{A-B}{2}\right )$$
$$cos(A)+cos(B)=2 \cdot cos\left (\frac{A+B}{2}\right ) \cdot cos\left (\frac{A-B}{2}\right )$$
$$cos(A)-cos(B)=-2 \cdot sen\left (\frac{A+B}{2}\right ) \cdot sen\left (\frac{A-B}{2}\right )$$
Productos en sumas
$$sen(A) \cdot cos(B) = \frac{1}{2} \left [ sen(A+B) + sen(A-B)\right ]$$
$$cos(A) \cdot cos(B) = \frac{1}{2} \left [ cos(A+B) + cos(A-B)\right ]$$
$$sen(A) \cdot sen(B) = \frac{1}{2} \left [ sen(A+B) + sen(A-B)\right ]$$
Teorema de los senos
En todo triángulo se cumple que:
$$\frac{a}{sen(\hat{A})}=\frac{b}{sen(\hat{B})}=\frac{c}{sen(\hat{C})}=2R$$ donde \(R\) es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Teorema de los cosenos
En todo triángulo se cumple que:
$$a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\hat{A})$$
$$b^2=a^2+c^2-2 \cdot a \cdot c \cdot cos(\hat{B})$$
$$c^2=a^2+b^2-2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\hat{C})$$
