EL ÁREA DEL CUADRADO (#25)
EL ÁREA DEL CUADRADO: Halla el área del cuadrado pequeño central, sabiendo que los cuatro puntos señalados son respectivamente los puntos medios de cada uno de los lados del cuadrado grande. El lado del cuadrado grande mide 5 unidades.
Pistas:
- No te olvides de Pitágoras.
- Ni tampoco de Thales.
- Busca triángulos semejantes.
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\(Área \quad del \quad cuadrado = lado \cdot lado = l^2\)
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\(Área \quad del \quad tri \acute{a} ngulo = \displaystyle{\frac{base \cdot altura}{2}}\)
- Si por ese camino no llegas, puedes intentarlo buscando ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si suman 90º.
Solución:
Calculando distancias y áreas
En todo el problema, usaremos la siguiente notación: $$\left.\begin{matrix} \acute{A}rea \quad cuadrado \quad grande = \acute{A}rea(CG)\\ \acute{A}rea \quad cuadrado \quad central = \acute{A}rea(CC)\\ \acute{A}rea \quad tri \acute{a} ngulo \quad grande = \acute{A}rea(TG)\\ \acute{A}rea \quad tri \acute{a} ngulo \quad pequeño = \acute{A}rea(TP)\\ \acute{A}rea \quad trapecio = \acute{A}rea(TR) \end{matrix}\right\} $$
Como el triángulo es rectángulo, aplicando el Teorema de Pitágoras podemos calcular su hipotenusa:
$$x^2=5^2+\left(\displaystyle{\frac{5}{2}}\right)^2 \Rightarrow x^2=25+\displaystyle{\frac{25}{4}} \Rightarrow$$
$$x^2=\displaystyle{\frac{125}{4}} \Rightarrow x=\displaystyle{\sqrt{\frac{125}{4}}}=\displaystyle{\frac{5\sqrt{5}}{2}} \quad u$$
Aplicando semejanza de triángulos:
$$\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{5\sqrt{5}}{2}}}{\displaystyle{\frac{5}{2}}}=\frac{5}{z}=\frac{\displaystyle{\frac{5}{2}}}{y}}$$
Despejando y de la primera y tercera igualdad:
$$\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{5\sqrt{5}}{2}}}{\displaystyle{\frac{5}{2}}}=\frac{\displaystyle{\frac{5}{2}}}{y}} \Rightarrow y=\displaystyle{\frac{\sqrt{5}}{2}} \quad u$$
Despejando z de la primera y segunda igualdad:
$$\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{5\sqrt{5}}{2}}}{\displaystyle{\frac{5}{2}}}=\frac{5}{z}} \Rightarrow z=\displaystyle{\sqrt{5}} \quad u$$
Las áreas de los triángulos grandes y pequeños son respectivamente:
$$\acute{A}rea(TG)=\displaystyle{\frac{5 \cdot \displaystyle{\frac{5}{2}}}{2}}=\displaystyle{\frac{25}{4}} \quad u^2$$
$$\acute{A}rea(TP)=\displaystyle{\frac{\sqrt{5} \cdot \displaystyle{\frac{\sqrt{5}}{2}}}{2}}=\displaystyle{\frac{5}{4}} \quad u^2$$
El área del trapecio es:
$$\acute{A}rea(TR)=\acute{A}rea(TG)-2\acute{A}rea(TP)=$$
$$=\displaystyle{\frac{25}{4}}-2 \cdot \displaystyle{\frac{5}{4}}=\displaystyle{\frac{25}{4}}-\displaystyle{\frac{10}{4}}=\displaystyle{\frac{15}{4}} \quad u^2$$
El área del cuadrado central es:
$$\acute{A}rea(CC)=\acute{A}rea(CG)-4\acute{A}rea(TR)-4\acute{A}rea(TP)=$$
$$=5^2-4 \cdot \displaystyle{\frac{15}{4}} -4 \cdot \displaystyle{\frac{5}{4}}=25-15-5=5 \quad u^2$$
Midiendo ángulos
Si observamos los ángulos y los lados del triángulo pequeño, observamos que son complementarios y que su hipotenusa mide la mitad del lado del cuadrado grande. De esa manera, podemos transformar el área del cuadrado grande en otra figura distinta, pero del mismo área que la del cuadrado grande y que resulta ser 5 veces el área del cuadrado central. De ese modo, como el área del cuadrado grande es 25 \(u^2\), el área del cuadrado central será su quinta parte. Por tanto, el área del cuadrado central es de 5 \(u^2\).
