TEOREMA DE VIVIANI

Imagina que tienes un terreno de cultivo en forma de triángulo equilátero (con sus tres lados y sus tres ángulos iguales) y que deseas colocar un pozo en algún lugar de la finca de modo que el agua llegue a cada uno de los lados de la misma (donde construirás casetas de riego), usando la menor cantidad posible de tuberías ya que dispones de poco capital para invertir. Si te planteas buscar una solución a dicho problema, en principio parece bastante complicado, pero en realidad no lo es. El Teorema de Viviani, en honor al matemático florentino Vincenzo Viviani, nos da la solución. Un resultado importante, cuya demostración es bastante simple, hecho por el cual lo abordamos en este sitio.

Enunciamos el teorema de manera formal: Dado un triángulo equilátero, la suma de las distancias de un punto cualquiera de dicho triángulo a cada uno de sus lados es igual a la altura del triángulo, y por tanto, constante.

Si llamamos $h$ a la altura del triángulo equilátero original y $h_1$, $h_2$ y $h_3$ a las alturas respectivas de cada uno de los tres triángulos sombreados, se cumple que el área del triángulo original (equilátero) es igual a la suma de las áreas de los otros tres triángulos. Como la base de cada uno de dichos triángulos mide lo mismo y coincide con el lado l, se cumple que:

$\displaystyle{\frac{l \cdot h}{2}} = \displaystyle{\frac{l \cdot h_1}{2}} + \displaystyle{\frac{l \cdot h_2}{2}} + \displaystyle{\frac{l \cdot h_3}{2}} \Rightarrow$

$\displaystyle{\frac{l \cdot h}{2}} = \displaystyle{\frac{l \cdot h_1 + l \cdot h_2 + l \cdot h_3}{2}} \Rightarrow$

$l \cdot h = l \cdot (h_1 + h_2 + h_3) \Rightarrow$

$\displaystyle{\frac{l \cdot h}{2}} = \displaystyle{\frac{l \cdot (h_1 + h_2 + h_3)}{2}} \Rightarrow$

$h = h_1 + h_2 + h_3$

Conclusión: Es indiferente donde coloque el pozo en la finca ya que el agua tendría que recorrer en total, la misma distancia para llegar a los tres lados del triángulo.

Mediante este enlace a un applet del programa de geometría dinámica GeoGebra, puedes ver una demostración animada.

Para saber más sobre este resultado, puedes seguir el enlace al Teorema de Viviani en Wikipedia.