TEOREMA DE VIVIANI
Imagina que tienes un terreno de cultivo en forma de
triángulo equilátero (con sus tres lados y sus tres ángulos iguales) y
que deseas colocar un pozo en algún lugar de la finca de modo que el agua
llegue a cada uno de los lados de la misma (donde construirás casetas de
riego), usando la menor cantidad posible de tuberías ya que dispones de poco
capital para invertir. Si te planteas buscar una solución a dicho problema, en
principio parece bastante complicado, pero en realidad no lo es. El
Teorema de Viviani, en honor al matemático florentino
Vincenzo Viviani, nos da la solución. Un resultado importante, cuya
demostración es bastante simple, hecho por el cual lo abordamos en este sitio.
Enunciamos el teorema de manera formal:
Dado un triángulo equilátero, la suma de las distancias de un punto
cualquiera de dicho triángulo a cada uno de sus lados es igual a la altura
del triángulo, y por tanto, constante.
Si llamamos \(h\) a la altura del triángulo equilátero original y
\(h_1\), \(h_2\) y \(h_3\) a las alturas respectivas de
cada uno de los tres triángulos sombreados, se cumple que el área del
triángulo original (equilátero) es igual a la suma de las áreas de los otros
tres triángulos. Como la base de cada uno de dichos triángulos mide lo mismo y
coincide con el lado l, se cumple que:
\(\displaystyle{\frac{l \cdot h}{2}} = \displaystyle{\frac{l \cdot h_1}{2}}
+ \displaystyle{\frac{l \cdot h_2}{2}} + \displaystyle{\frac{l \cdot
h_3}{2}} \Rightarrow\)
\(\displaystyle{\frac{l \cdot h}{2}} = \displaystyle{\frac{l \cdot h_1 + l
\cdot h_2 + l \cdot h_3}{2}} \Rightarrow\)
\(l \cdot h = l \cdot (h_1 + h_2 + h_3) \Rightarrow\)
\(\displaystyle{\frac{l \cdot h}{2}} = \displaystyle{\frac{l \cdot (h_1 +
h_2 + h_3)}{2}} \Rightarrow\)
\(h = h_1 + h_2 + h_3\)
Conclusión: Es indiferente donde coloque el pozo en la finca ya que el
agua tendría que recorrer en total, la misma distancia para
llegar a los tres lados del triángulo.
Mediante este enlace a un applet del programa de geometría dinámica GeoGebra, puedes ver una demostración animada.
Para saber más sobre este resultado, puedes seguir el enlace al
Teorema de Viviani
en Wikipedia.