2ºBACH CCSS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (PROBLEMAS)


Sistemas de Ecuaciones Lineales

Problema (#1)

Una empresa de repostería tiene 10 vehículos entre motocicletas (2 ruedas), turismos (4 ruedas) y pequeños camiones de reparto (6 ruedas). El impuesto municipal, por vehículo es de 20 €, 50 € y 80 €, respectivamente. Sabiendo que ha pagado un total de 410 € por este concepto y que el total de ruedas de sus vehículos es de 34, ¿cuántos vehículos tiene de cada tipo?

Solución:

x=Nº motosy=Nº turismosz=Nº camiones}

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

{x+y+z=102x+4y+z=3420x+50y+80z=410 x,y,zN 0x,y,z10

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.I. (Infinitas soluciones) dependientes de un parámetro: {x=λ+3y=2λ+7z=λ,λR

De las infinitas soluciones del sistema compatible indeterminado, no todas son solución del problema. Se deben cumplir las restricciones del problema para las variables x,y,z. Por tanto:

{0x100y100z10{0λ+31002λ+7100λ10{3λ732λ720λ10,λNλ[0,72],λN

Luego, λ=0,1,2,3 y el problema tendrá cuatro posibles soluciones.

Si λ=0x=3,y=7,z=0

Si λ=1x=4,y=5,z=1

Si λ=2x=5,y=3,z=2

Si λ=3x=6,y=1,z=3

Problema (#2)

Tres amigos, Marcos, Luis y Miguel, son aficionados a la música. Entre los tres poseen un total de discos compactos (CD) comprendidos entre 16 y 22. Marcos presta 4 CD a Miguel, Luis presta 1 CD a Marcos y Miguel presta 2 CD a Luis, con lo cual los tres amigos tienen ahora el mismo número de CD. ¿Cuántos CD pueden tener en total?

Solución:

x=Nº discos de Marcosy=Nº discos de Luisz=Nº discos de Miguel}

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

{x3=y+1x3=z+2y+1=z+2 x,y,zN 16x+y+z22

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.I. (Infinitas soluciones) dependientes de un parámetro: {x=5+λy=1+λz=λ,λR

De las infinitas soluciones del sistema compatible indeterminado, no todas son solución del problema. Se deben cumplir las restricciones del problema para las variables x,y,z. Por tanto:

16x+y+z2216(5+λ)+(1+λ)+λ22 166+3λ22103λ16 103λ163,λNλ[103,163],λN

Luego, λ=4 ó 5 y el problema tendrá dos posibles soluciones.

Si λ=4x=9,y=5,z=4

Si λ=5x=10,y=6,z=5

Problema (#3)

En un examen de Matemáticas que constaba de tres problemas puntuados cada uno de ellos sobre 10, un alumno obtuvo una calificación media de 6 puntos. La puntuación del primer problema fue un 40% más que la del segundo, y la del tercero fue la mitad de la suma de las puntuaciones del primero y el segundo. ¿Cuál fue la puntuación de cada problema?

Solución:

x=Puntuación problema 1y=Puntuación problema 2z=Puntuación problema 3}

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

{x+y+z3=6x=1.4yz=x+y2 x,y,zN

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=7y=5z=6

Problema (#4)

Un taller de carpintería ha vendido 15 muebles, entre sillas, sillones y butacas, por un total de 1600 euros. Se sabe que cobra 50 euros por cada silla, 150 euros por cada sillón y 200 euros por cada butaca, y que el número de butacas es la cuarta parte del número que suman los demás muebles. ¿Cuántos muebles de cada clase ha vendido ese taller?

Solución:

x=Nº sillasy=Nº sillonesz=Nº butacas}

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

{x+y+z=1550x+150y+200z=1600z=x+y4 x,y,zN

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=8y=4z=3

Problema (#5)

Un tren transporta 470 pasajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 6800 € Calcula cuántos viajeros han pagado el importe total del billete que asciende a 16 €, cuántos han pagado el 80% del billete y cuántos el 50, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 50% es la mitad del número de viajeros que pagaron el 80%.

Solución:

x=Nº pasajeros que pagan el total del importey=Nº pasajeros que pagan el 50% del importez=Nº pasajeros que pagan el 80% del importe}

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

{x+y+z=47016x+0.516y+0.8016z=6800y=z2 x,y,zN

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=320y=50z=100

Problema (#6)

Alumnos de dos grupos distintos, A y B, realizan un mismo examen de Matemáticas Aplicadas a las CC.SS. II. Se sabe que la nota media en el grupo A ha sido de 4.5 puntos y de 5.4 puntos en el B. Calcule el número de alumnos de cada grupo, sabiendo que los dos suman 72 alumnos y que la nota media de los 72 alumnos ha sido 4.95 puntos.

Solución:

x=Nº alumnos grupo Ay=Nº alumnos grupo B}

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

{x+y=724.95=4.5x+5.4yx+y x,yN

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=36y=36

Problema (#7)

El cajero de un banco sólo dispone de billetes de 10, 20 y 50 euros. Hemos sacado 290 euros del banco y el cajero nos ha entregado exactamente 8 billetes. El número de billetes de 10 euros que nos ha dado es el doble del de 20 euros. Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema para obtener el número de billetes de cada tipo que nos ha entregado el cajero.

Solución:

x=Nº billetes de 10€y=Nº billetes de 20€z=Nº billetes de 50€}

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

{x+y+z=810x+20y+50z=290x=2y x,y,zN

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=2y=1z=5

Problema (#8)

Un vendedor dispone de tres tipos de piensos: A , B y C. A cierto ganadero le cobra 62 céntimos el kilo de una mezcla formada por una parte de pienso A, dos de B y tres de C. A otro ganadero le cobra 48 céntimos el kilo de una mezcla formada por dos partes del pienso A y una del tipo B.
  • Calcula el precio del kilo de cada tipo de pienso sabiendo que la mezcla, a partes iguales, de los tipos B y C cuesta 65 céntimos el kilo.
  • Calcula el precio del kilo de una mezcla, a partes iguales, de cada tipo de pienso.

Solución:

x=Precio Kg pienso Ay=Precio Kg pienso Bz=Precio Kg pienso C}

  • Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

{x+2y+3z=6262x+y=483y+z=652

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=42y=60z=70

  • El precio del kilo de una mezcla, a partes iguales, sería de:
42+60+703=57.3

Problema (#9)

De tres cantidades distintas r<s<t se sabe que la suma de las tres es igual a 113, que al dividir la mayor entre la menor se obtiene un cociente igual a 6 y un resto igual a 4, y que al dividir la mayor entre la cantidad intermedia se obtiene un cociente igual a 2 y un resto igual a 6. Calcule el valor de cada cantidad.

Solución:

r=Cantidad menors=Cantidad intermediat=Cantidad mayor}

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

{r+s+t=1136r+4=t2s+6=t

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {r=11s=32t=70

Problema (#10)

Un comerciante ha vendido 600 camisetas por un total de 6300 €. Su precio original era de 12 € por camiseta, pero ha vendido en las rebajas una parte de ellas con un descuento del 30% del precio original y otra parte con un descuento del 40%. Sabiendo que el número total de camisetas rebajadas fue la mitad del número de las que vendió a 12 €, ¿cuántas camisetas vendió a cada precio?

Solución:

x=Nº camisetas precio originaly=Nº camisetas rebajadas un 30%z=Nº camisetas rebajadas un 40%}

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

{x+y+z=60012x+0.712y+0.612z=6300y+z=x2 x,y,zN

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=400y=50z=150

Problema (#11)

Un establecimiento pone a la venta tres tipos de camisas A, B y C. Se sabe que la razón entre los precios de las camisas C y B es 1918 y entre los de B y A es 65. Al comprar tres camisas, una de cada clase, se pagan 130 €. ¿Cuál es el precio de cada camisa?

Solución:

x=Precio camisa Ay=Precio camisa Bz=Precio camisa C}

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

{zy=1918yx=65x+y+z=130 x,y,zN

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=37.5y=45z=47.5

Problema (#12)

Una fábrica de electrodomésticos tiene una producción semanal fija de 42 unidades. La fábrica abastece a tres establecimientos A, B y C, que demandan toda su producción. En una determinada semana el establecimiento A solicitó tantas unidades como B y C juntos y, por otro lado, B solicitó un 20% más que la suma de la mitad de lo que pidió A más la tercera parte de lo que pidió C. ¿Cuántas unidades solicitó cada establecimiento dicha semana?

Solución:

x=Nº unidades establecimiento Ay=Nº unidades establecimiento Bz=Nº unidades establecimiento C}

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

{x+y+z=42x=y+zy=1.2(x2+z3) x,y,zN

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=21y=15z=6



En la pestaña OJOS encontrarás las Evidencias de las tareas realizadas con mi alumnado así como sus mejores trabajos. En la pestaña BRAZOS , las Reflexiones sobre mi práctica docente. En la pestaña TENTÁCULOS, una recopilación de materiales para la autoevaluación del alumnado, Formularios útiles para tus clases de Matemáticas, relaciones de Actividades sin resolver (con sus soluciones), Problemas tipo resueltosCuestiones teóricas, así como Cuestionarios de Autoevaluación, catalogados por cursos y por unidades didácticas. En la pestaña TINTA, el ARCHIVO completo del blog con todas sus entradas ordenadas cronológicamente. También hay cabida en este sitio para los blogs de aula o portfolios de mis alumn@s en la pestaña CEREBRITOS. Un programa de radio muy particular, Radio Pulpoen la pestaña EN LA ONDA. En la pestaña POR LA BOCA , podrás encontrar Curiosidades MatemáTICas , y en la pestaña VERDADERO O FALSO, podrás ver Demostraciones MatemáTICas con todo rigor. En la pestaña AMARRAS encontrarás Links interesantes de los que poder tirar. En la pestaña SIN RUMBO dispondrás de Citas célebres que te harán reflexionar. En la pestaña LA PECERA, donde podrás disfrutar de varios Escape Room on line. Por último, en la pestaña EXPRIME TU CEREBRO, una colección de acertijos MatemáTICos para todas las edades.

¿Qué buscas?

BINGO CALCULADORAS CAMBIO DE BASE CAPITALIZACIÓN COEDUCACIÓN COMBINATORIA CONCURSOS CONSTANTE DE KAPREKAR CONVERTIDORES CONVIVENCIA COORDENADAS POLARES CUADRADO MÁGICO CUADRADOS PERFECTOS CUESTIONARIOS CUESTIONES CURIOSIDADES DEMOSTRACIONES DERIVADAS DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DIAGRAMAS DE VORONOI DISTRIBUCIÓN BERNOULLI DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DISTRIBUCIÓN NORMAL DIVISIÓN ENTERA DÍA DE ANDALUCÍA DÍA DE PI ECOacción ECUACIONES ECUACIÓN 2ºGRADO EDICIÓN EDITOR ECUACIONES EDITOR TEXTOS CIENTÍFICOS ENTORNOS ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL EVIDENCIAS EXTRAER FACTOR COMÚN FACTORIAL FIBONACCI FORMATOS DE TEXTO FORMULARIOS FRACCIONES EQUIVALENTES FUNCIONES FÓRMULA DE HERÓN GAMIFICACIÓN GRADOS MINUTOS SEGUNDOS GRAFICADORAS GRAMO HOJA DE CÁLCULO HOMBRES I.M.U.S. IDENTIDADES NOTABLES IMAGEN INECUACIONES INTEGRALES INTERVALOS INTERÉS COMPUESTO INTERÉS SIMPLE JERARQUÍA DE OPERACIONES KENKEN LEMNISCATA LEONHARD EULER LINKS LITRO LOGARITMOS LOGICÓN LÚNULA DE HIPÓCRATES M.C.D. MATERIALES EDUCATIVOS MATRICES METRO METRO CUADRADO METRO CÚBICO MUESTREO E INFERENCIA ESTADÍSTICA MUJERES MULTIPLICACIÓN MULTIPLICACIÓN CON LLEVADA MULTIPLICACIÓN SIN LLEVADA MÉTODO DE GAUSS MÚLTIPLOS DEL GRAMO MÚLTIPLOS DEL LITRO MÚLTIPLOS DEL METRO MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS NOTACIÓN CIENTÍFICA NÚMERO DE ORO NÚMEROS COMPLEJOS NÚMEROS CÓMPLICES NÚMEROS IRRACIONALES NÚMEROS METÁLICOS NÚMEROS PRIMOS NÚMEROS RACIONALES NÚMEROS TRIANGULARES OLIMPIADAS PDF PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN PEvAU POESÍA POLIEDROS PORCENTAJES POTENCIAS PREMIOS ABEL PREMIOS NOBEL PRIMARIA PROBABILIDAD PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL PROGRESIONES PROGRESIÓN ARITMÉTICA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA PROGRESIÓN RECURSIVA PROPORCIÓN DIVINA RACIONALIZAR RADICALES RADIO PULPO RANGO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO RECURSOS DE AULA RELOJ ANALÓGICO RELOJ DIGITAL REPRESENTACIÓN DE UNA MULTIPLICACIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA RESTA CON LLEVADA REVISTAS S.A.E.M. THALES SECUNDARIA SEGURIDAD EN RED SEMEJANZA SEMIRRECTAS SEXO SIMULACIÓN PROBABILÍSTICA SISTEMA DECIMAL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL SISTEMA SEXAGESIMAL SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES SOCIEDADES MATEMÁTICAS SPINNER SUBMÚLTIPLOS DEL GRAMO SUBMÚLTIPLOS DEL LITRO SUBMÚLTIPLOS DEL METRO SUCESIONES SUDOKU SUMA CON LLEVADA SUMAS Y RESTAS DE MEDIDAS SISTEMA MÉTRICO DECIMAL T.A.E. TABLA BINOMIAL TABLA NORMAL TIPIFICADA TABLAS DE MULTIPLICAR TABLAS DE PROBABILIDAD TEOREMA DE LA ALTURA TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA DE THALES TEOREMA DE VIVIANI TEOREMA DE ZECKENDORF TEOREMA DEL CATETO TERNAS PITAGÓRICAS TIPIFICAR TRIGONOMETRÍA TRIÁNGULO RECTÁNGULO TRIÁNGULOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES VALOR ABSOLUTO VÍDEO ZUMO DE NEURONAS m.c.m. ÁREAS
Mostrar más