2ºBACH CCSS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (PROBLEMAS)

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Problema (#1)

Una empresa de repostería tiene 10 vehículos entre motocicletas (2 ruedas), turismos (4 ruedas) y pequeños camiones de reparto (6 ruedas). El impuesto municipal, por vehículo es de 20 €, 50 € y 80 €, respectivamente. Sabiendo que ha pagado un total de 410 € por este concepto y que el total de ruedas de sus vehículos es de 34, ¿cuántos vehículos tiene de cada tipo?

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº motos}\\ y = \hbox{Nº turismos}\\ z = \hbox{Nº camiones}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x + y + z = 10\\ 2x + 4y + 6z = 34\\ 20x + 50y + 80z = 410\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.I. (Infinitas soluciones dependientes de un parámetro): $$\left \{\begin{array}{l} x = \lambda +3 \\y = -2 \lambda +7 \\ z = \lambda\\ \end{array}\right., \lambda \in \mathbf{N}$$

De las infinitas soluciones del sistema compatible indeterminado, no todas son solución del problema. Se deben cumplir las restricciones del problema para las variables \(x, y, z\). Por tanto:

$$\left \{\begin{array}{l} 0 \leq x\\ 0 \leq y\\ 0 \leq z\\ \end{array}\right. \Rightarrow \left \{\begin{array}{l} 0 \leq \lambda + 3\\ 0 \leq -2 \lambda + 7\\ 0 \leq \lambda\\ \end{array}\right. \Rightarrow \left \{\begin{array}{l} -3 \leq \lambda\\ \lambda \leq \displaystyle{\frac{7}{2}}\\ 0 \leq \lambda\\ \end{array}\right., \lambda \in \mathbf{N} \Rightarrow \lambda \in \left[0,\displaystyle{\frac{7}{2}}\right], \lambda \in \mathbf{N}$$

Luego, \(\lambda=0,1,2,3\) y el problema tendrá cuatro posibles soluciones.

Si \(\lambda=0 \Rightarrow x=3, y=7, z=0\)

Si \(\lambda=1 \Rightarrow x=4, y=5, z=1\)

Si \(\lambda=2 \Rightarrow x=5, y=3, z=2\)

Si \(\lambda=3 \Rightarrow x=6, y=1, z=3\)

Problema (#2)

Tres amigos, Marcos, Luis y Miguel, son aficionados a la música. Entre los tres poseen un total de discos compactos (CD) comprendidos entre 16 y 22. Marcos presta 4 CD a Miguel, Luis presta 1 CD a Marcos y Miguel presta 2 CD a Luis, con lo cual los tres amigos tienen ahora el mismo número de CD. ¿Cuántos CD pueden tener en total?

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº discos de Marcos}\\ y = \hbox{Nº discos de Luis}\\ z = \hbox{Nº discos de Miguel}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x-3=y+1\\ x-3=z+2\\ y+1=z+2\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N} \quad 16 \leq x+y+z \leq 22$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.I. (Infinitas soluciones dependientes de un parámetro): $$\left \{\begin{array}{l} x = 5+\lambda \\y = 1+\lambda \\ z = \lambda\\ \end{array}\right., \lambda \in \mathbf{N}$$

De las infinitas soluciones del sistema compatible indeterminado, no todas son solución del problema. Se deben cumplir las restricciones del problema para las variables \(x, y, z\). Por tanto:

$$16 \leq x+y+z \leq 22 \Rightarrow 16 \leq (5+\lambda)+(1+\lambda)+\lambda \leq 22 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow16 \leq 6+3\lambda \leq 22 \Rightarrow 10 \leq 3\lambda \leq 16 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \displaystyle{\frac{10}{3}} \leq \lambda \leq \displaystyle{\frac{16}{3}}, \lambda \in \mathbf{N} \Rightarrow \lambda \in \left[\displaystyle{\frac{10}{3}},\displaystyle{\frac{16}{3}}\right], \lambda \in \mathbf{N}$$

Luego, \(\lambda=4\) ó \(5\) y el problema tendrá dos posibles soluciones.

Si \(\lambda=4 \Rightarrow x=9, y=5, z=4\)

Si \(\lambda=5 \Rightarrow x=10, y=6, z=5\)

Problema (#3)

En un examen de Matemáticas que constaba de tres problemas puntuados cada uno de ellos sobre 10, un alumno obtuvo una calificación media de 6 puntos. La puntuación del primer problema fue un 40% más que la del segundo, y la del tercero fue la mitad de la suma de las puntuaciones del primero y el segundo. ¿Cuál fue la puntuación de cada problema?

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Puntuación problema 1}\\ y = \hbox{Puntuación problema 2}\\ z = \hbox{Puntuación problema 3}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} \displaystyle{\frac{x+y+z}{3}}=6\\ x=1.4y\\ z=\displaystyle{\frac{x+y}{2}}\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N}$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=7\\ y=5\\ z=6\\ \end{array}\right.$$

Problema (#4)

Un taller de carpintería ha vendido 15 muebles, entre sillas, sillones y butacas, por un total de 1600 euros. Se sabe que cobra 50 euros por cada silla, 150 euros por cada sillón y 200 euros por cada butaca, y que el número de butacas es la cuarta parte del número que suman los demás muebles. ¿Cuántos muebles de cada clase ha vendido ese taller?

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº sillas}\\ y = \hbox{Nº sillones}\\ z = \hbox{Nº butacas}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x+y+z=15\\ 50x+150y+200z=1600\\ z = \displaystyle{\frac{x+y}{4}}\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N}$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=8\\ y=4\\ z=3\\ \end{array}\right.$$

Problema (#5)

Un tren transporta 470 pasajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 6800 € Calcula cuántos viajeros han pagado el importe total del billete que asciende a 16 €, cuántos han pagado el 80% del billete y cuántos el 50, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 50% es la mitad del número de viajeros que pagaron el 80%.

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº pasajeros que pagan el total del importe}\\ y = \hbox{Nº pasajeros que pagan el 50% del importe}\\ z = \hbox{Nº pasajeros que pagan el 80% del importe}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x+y+z=470\\ 16x+0.5 \cdot 16y+0.80 \cdot 16z=6800\\ y=\displaystyle{\frac{z}{2}}\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N}$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=320\\ y=50\\ z=100\\ \end{array}\right.$$

Problema (#6)

Alumnos de dos grupos distintos, A y B, realizan un mismo examen de Matemáticas Aplicadas a las CC.SS. II. Se sabe que la nota media en el grupo A ha sido de 4.5 puntos y de 5.4 puntos en el B. Calcule el número de alumnos de cada grupo, sabiendo que los dos suman 72 alumnos y que la nota media de los 72 alumnos ha sido 4.95 puntos.

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº alumnos grupo A}\\ y = \hbox{Nº alumnos grupo B}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x+y=72\\ 4.95=\displaystyle{\frac{4.5x+5.4y}{x+y}}\\ \end{array}\right.$$ $$x, y \in \mathbf{N}$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=36\\ y=36\\ \end{array}\right.$$

Problema (#7)

El cajero de un banco sólo dispone de billetes de 10, 20 y 50 euros. Hemos sacado 290 euros del banco y el cajero nos ha entregado exactamente 8 billetes. El número de billetes de 10 euros que nos ha dado es el doble del de 20 euros. Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema para obtener el número de billetes de cada tipo que nos ha entregado el cajero.

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº billetes de 10€}\\ y = \hbox{Nº billetes de 20€}\\ z = \hbox{Nº billetes de 50€}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x+y+z=8\\ 10x+20y+50z=290\\ x=2y\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N}$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=2\\ y=1\\ z=5\\ \end{array}\right.$$

Problema (#8)

Un vendedor dispone de tres tipos de piensos: A , B y C. A cierto ganadero le cobra 62 céntimos el kilo de una mezcla formada por una parte de pienso A, dos de B y tres de C. A otro ganadero le cobra 48 céntimos el kilo de una mezcla formada por dos partes del pienso A y una del tipo B.

• Calcula el precio del kilo de cada tipo de pienso sabiendo que la mezcla, a partes iguales, de los tipos B y C cuesta 65 céntimos el kilo.
• Calcula el precio del kilo de una mezcla, a partes iguales, de cada tipo de pienso.

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Precio Kg pienso A}\\ y = \hbox{Precio Kg pienso B}\\ z = \hbox{Precio Kg pienso C}\\ \end{array}\right\}$$

• Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x+2y+3z=62 \cdot 6\\ 2x+y=48 \cdot 3\\ y+z=65 \cdot 2\\ \end{array}\right.$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=42\\ y=60\\ z=70\\ \end{array}\right.$$

• El precio del kilo de una mezcla, a partes iguales, sería de:

$$\displaystyle{\frac{42+60+70}{3}}=57.3$$

Problema (#9)

De tres cantidades distintas \(r < s < t\) se sabe que la suma de las tres es igual a 113, que al dividir la mayor entre la menor se obtiene un cociente igual a 6 y un resto igual a 4, y que al dividir la mayor entre la cantidad intermedia se obtiene un cociente igual a 2 y un resto igual a 6. Calcule el valor de cada cantidad.

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} r = \hbox{Cantidad menor}\\ s = \hbox{Cantidad intermedia}\\ t = \hbox{Cantidad mayor}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} r+s+t=113\\ 6r+4=t\\ 2s+6=t\\ \end{array}\right.$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} r=11\\ s=32\\ t=70\\ \end{array}\right.$$

Problema (#10)

Un comerciante ha vendido 600 camisetas por un total de 6300 €. Su precio original era de 12 € por camiseta, pero ha vendido en las rebajas una parte de ellas con un descuento del 30% del precio original y otra parte con un descuento del 40%. Sabiendo que el número total de camisetas rebajadas fue la mitad del número de las que vendió a 12 €, ¿cuántas camisetas vendió a cada precio?

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº camisetas precio original}\\ y = \hbox{Nº camisetas rebajadas un 30%}\\ z = \hbox{Nº camisetas rebajadas un 40%}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x+y+z=600\\ 12x+0.7 \cdot 12y+0.6 \cdot 12z=6300\\ y+z=\displaystyle{\frac{x}{2}}\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N}$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=400\\ y=50\\ z=150\\ \end{array}\right.$$

Problema (#11)

Un establecimiento pone a la venta tres tipos de camisas A, B y C. Se sabe que la razón entre los precios de las camisas C y B es \(\displaystyle{\frac{19}{18}}\) y entre los de B y A es \(\displaystyle{\frac{6}{5}}\). Al comprar tres camisas, una de cada clase, se pagan 130 €. ¿Cuál es el precio de cada camisa?

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Precio camisa A}\\ y = \hbox{Precio camisa B}\\ z = \hbox{Precio camisa C}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} \displaystyle{\frac{z}{y}}=\displaystyle{\frac{19}{18}}\\ \displaystyle{\frac{y}{x}}=\displaystyle{\frac{6}{5}}\\ x+y+z=130\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N}$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=37.5\\ y=45\\ z=47.5\\ \end{array}\right.$$

Problema (#12)

Una fábrica de electrodomésticos tiene una producción semanal fija de 42 unidades. La fábrica abastece a tres establecimientos A, B y C, que demandan toda su producción. En una determinada semana el establecimiento A solicitó tantas unidades como B y C juntos y, por otro lado, B solicitó un 20% más que la suma de la mitad de lo que pidió A más la tercera parte de lo que pidió C. ¿Cuántas unidades solicitó cada establecimiento dicha semana?

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº unidades establecimiento A}\\ y = \hbox{Nº unidades establecimiento B}\\ z = \hbox{Nº unidades establecimiento C}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x+y+z=42\\ x=y+z\\ y=1.2\left(\displaystyle{\frac{x}{2}}+\displaystyle{\frac{z}{3}}\right)\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N}$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=21\\ y=15\\ z=6\\ \end{array}\right.$$

Problema (#13)

Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones?

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{1º número}\\ y = \hbox{2º número}\\ z = \hbox{3º número}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x + y + z = 22\\ 4x + 3y + 2z = 61\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.I. (Infinitas soluciones dependientes de un parámetro): $$\left \{\begin{array}{l} x = \lambda - 5 \\y = 27 - 2 \lambda\\ z = \lambda\\ \end{array}\right., \lambda \in \mathbf{N}$$

De las infinitas soluciones del sistema compatible indeterminado, no todas son solución del problema. Se deben cumplir las restricciones del problema para las variables \(x, y, z\). Por tanto:

$$\left \{\begin{array}{l} 0 \leq x\\ 0 \leq y\\ 0 \leq z\\ \end{array}\right. \Rightarrow \left \{\begin{array}{l} 0 \leq \lambda - 5\\ 0 \leq 27 - 2 \lambda\\ 0 \leq \lambda\\ \end{array}\right. \Rightarrow \left \{\begin{array}{l} 5 \leq \lambda\\ \lambda \leq \displaystyle{\frac{27}{2}} \\ 0 \leq \lambda\\ \end{array}\right., \lambda \in \mathbf{N} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \lambda \in \left[5,\displaystyle{\frac{27}{2}}\right], \lambda \in \mathbf{N} \Rightarrow \lambda \in \left[5,13.5\right], \lambda \in \mathbf{N}$$

Luego, \(\lambda=5,6, \cdots ,12,13\) y el problema tendrá nueve posibles soluciones.

Si \(\lambda=5 \Rightarrow x=0, y=17, z=5\)

Si \(\lambda=6 \Rightarrow x=1, y=15, z=6\)

Si \(\lambda=7 \Rightarrow x=2, y=13, z=7\)

Si \(\lambda=8 \Rightarrow x=3, y=11, z=8\)

Si \(\lambda=9 \Rightarrow x=4, y=9, z=9\)

Si \(\lambda=10 \Rightarrow x=5, y=7, z=10\)

Si \(\lambda=11 \Rightarrow x=6, y=5, z=11\)

Si \(\lambda=12 \Rightarrow x=7, y=3, z=12\)

Si \(\lambda=13 \Rightarrow x=8, y=1, z=13\)

¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. Sí, cuando \(\lambda=6 \Rightarrow x=1, y=15, z=6\).

¿Existen otras opciones? No, no existen otras posibilidades.

Problema (#14)

Juan ha gastado 80 € por la compra de un jersey, una camisa y un pantalón. Sabemos que el precio del jersey es un tercio del precio de la camisa y el pantalón juntos ¿Es posible determinar de forma única el precio del jersey? ¿Y el de la camisa? Razona la respuesta. Si Juan hubiera esperado a las rebajas se habría gastado 57 €, pues el jersey, la camisa y el pantalón tenían un descuento del 30%, del 40% y del 20% respectivamente. Calcula el precio de cada prenda antes de las rebajas.

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Precio jersey (€)}\\ y = \hbox{Precio camisa (€)}\\ z = \hbox{Precio pantalón (€)}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x + y + z = 80\\ x =\displaystyle{\frac{y+z}{3}}\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{R} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.I. (Infinitas soluciones dependientes de un parámetro): $$\left \{\begin{array}{l} x = 20 \\y = 60-\lambda\\ z = \lambda\\ \end{array}\right., \lambda \in \mathbf{R}$$

Sí, el precio del jersey es de 20 €. Sin embargo, no es posible determinar de manera única el precio de la camisa ya que depende del precio del pantalón.

Si añadimos la tercera ecuación al sistema lineal de dos ecuaciones con tres incógnitas nos queda lo siguiente: $$\left \{\begin{array}{l} x + y + z = 80\\ x =\displaystyle{\frac{y+z}{3}}\\ 0.7x+0.6y+0.8z=57\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{R} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x = 20 \quad € \\y = 25 \quad € \\ z = 35 \quad €\\ \end{array}\right.$$

Problema (#15)

Un proveedor de perfumerías vende a sus comerciantes tres tipos de perfumes A, B y C. En un primer pedido una tienda ha encargado 20 perfumes de tipo A, 30 de tipo B y 15 de tipo C, por un importe de 2200 euros. En un segundo pedido ha comprado 15 perfumes de tipo A, 10 de tipo B y 10 de tipo C, por un importe de 1250 euros. ¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 perfumes de tipo A, 10 perfumes de tipo B y 16 de tipo C? Si añadimos que el precio de un perfume de tipo C es 25 del precio de una unidad de tipo A, ¿cuál es el precio de cada tipo de perfume?

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº perfumes tipo A}\\ y = \hbox{Nº perfumes tipo B}\\ z = \hbox{Nº perfumes tipo C}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} 20x + 30y + 15z = 2200\\ 15x + 10y + 10z = 1250\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{R} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.I. (Infinitas soluciones dependientes de un parámetro): $$\left \{\begin{array}{l} x = \displaystyle{-\frac{3 \lambda}{5}+62}\\y = \displaystyle{-\frac{\lambda}{10}+32}\\ z = \lambda\\ \end{array}\right., \lambda \in \mathbf{R}$$

Si añadimos la tercera ecuación al sistema lineal de dos ecuaciones con tres incógnitas nos queda lo siguiente: $$\left \{\begin{array}{l} 20x + 30y + 15z = 2200\\ 15x + 10y + 10z = 1250\\ z=\displaystyle{\frac{2x}{5}}\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{R} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x = 50 \quad € \\y = 30 \quad € \\ z = 20 \quad €\\ \end{array}\right.$$

Problema (#16)

Determina un número natural de tres cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es 9, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar la cifra de las centenas por la de las unidades es 198, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es 828.

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{1ª cifra}\\ y = \hbox{2ª cifra}\\ z = \hbox{3ª cifra}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x + y + z = 9\\ (100x+10y+z) - (100z+10y+x) = 198\\ (100x+10y+z) + (100z+10y+x) = 828\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x = 5\\ y = 1\\ z =3\\ \end{array}\right.$$

Problema (#17)

El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de 500 euros, sin incluir impuestos. El gasto en vino es 60 euros menos que los gastos en refrescos y cerveza conjuntamente, sin incluir impuestos. Teniendo en cuenta que los impuestos de los refrescos, la cerveza y el vino son el 6%, el 12% y el 30%, respectivamente, el importe total de la factura, incluyendo impuestos, ha ascendido a 592,4 euros. Calcula el importe, incluyendo impuestos, invertido en cada una de las bebidas.

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Importe refrescos sin impuestos incluidos (€)}\\ y = \hbox{Importe cerveza sin impuestos incluidos (€)}\\ z = \hbox{Importe vino sin impuestos incluidos (€)}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x + y + z = 500\\ z = x + y - 60\\ 1.06x + 1.12y + 1.30z = 592.4\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{R} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x = 120 \quad €\\ y = 160 \quad €\\ z = 220 \quad €\\ \end{array}\right.$$

Problema (#18)

Una marca de vehículos ha vendido este mes coches de tres colores: blancos, negros y rojos. El 60% de los coches blancos más el 50% de los coches negros representan el 30% de los coches vendidos. El 20% de los coches blancos, junto con el 60% de los coches negros y el 60% de los coches rojos, representan la mitad de los coches vendidos. Se han vendido 100 coches negros más que blancos. Determina el número de coches vendidos de cada color.

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº coches blancos}\\ y = \hbox{Nº coches negros}\\ z = \hbox{Nº coches rojos}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} 0.6x + 0.5y = 0.3(x+y+z)\\ 0.2x + 0.6y + 0.6z = \displaystyle{\frac{x+y+z}{2}}\\ y = 100 + x\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x = 500\\y = 600\\ z = 900\\ \end{array}\right.$$

Problema (#19)

Una plataforma de streaming se especializa en series de tres géneros: animación, ciencia ficción y comedia. Se sabe que el 30% de las series de animación más el 50% de las de ciencia ficción coincide con el 20% de total de series. El 25% de las series de animación más el 50% de las de ciencia ficción más el 60% de las de comedia representan la mitad del total de series. Hay 100 series menos de animación que de ciencia ficción. Halla el número de series de cada género.

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº series animación}\\ y = \hbox{Nº series ciencia ficción}\\ z = \hbox{Nº series comedia}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} 0.3x + 0.5y = 0.2(x+y+z)\\ 0.25x + 0.5y + 0.6z = \displaystyle{\frac{x+y+z}{2}}\\ x = y - 100\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x = 300\\y = 400\\ z = 750\\ \end{array}\right.$$

Problema (#20)

Una fábrica dispone de tres líquidos, L1, L2 y L3, en los que se encuentran disueltas dos sustancias: sodio y magnesio. Cada litro del líquido L1 contiene 120 mg de sodio y 90 mg de magnesio; cada litro del líquido L2 contiene 100 mg de sodio y 90 mg de magnesio; y cada litro del líquido L3 contiene 60 mg de sodio y 180 mg de magnesio. ¿Es posible obtener un litro de un líquido mezclando distintas cantidades de L1, L2 y L3 en el que la cantidad de sodio y de magnesio sea de 100 mg cada una? En caso afirmativo, calcula dichas cantidades.

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Cantidad de L1}\\ y = \hbox{Cantidad de L2}\\ z =\hbox{Cantidad de L3}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} 120x + 100y + 60z = 100\\ 90x + 90y + 180z = 100\\ x + y + z = 1\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{R} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x = \displaystyle{\frac{2}{9}} \quad de \quad litro\\y = \displaystyle{\frac{2}{3}} \quad de \quad litro\\ z = \displaystyle{\frac{1}{9}} \quad de \quad litro\\ \end{array}\right.$$

Problema (#21)

La suma de los seguidores en una determinada red social de Alberto, Begoña y Carlos es de 13000 personas. Aunque Carlos perdiera una tercera parte de sus seguidores, todavía seguiría teniendo el doble de seguidores que tiene Alberto. Por otro lado, los seguidores de Alberto más la quinta parte de los seguidores de Begoña, son tantos como la mitad de los de Carlos. Calcula cuántos seguidores tiene cada uno.

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº seguidores de Alberto}\\ y = \hbox{Nº seguidores de Begoña}\\ z =\hbox{Nº seguidores de Carlos}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x + y + z = 13000\\ z - \displaystyle{\frac{z}{3}} = 2x\\ x + \displaystyle{\frac{y}{5}} = \displaystyle{\frac{z}{2}}\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x = 2000\\y = 5000\\ z = 6000\\ \end{array}\right.$$

Problema (#22)

En un estudio del ciclo del sueño se monitoriza la fase NO-REM (es el momento del sueño que el cuerpo utiliza para descansar físicamente). Esta fase se divide a su vez en tres momentos: Fase I (adormecimiento), Fase II (sueño ligero) y Fase III (sueño profundo). Una persona dedica el 75% de su sueño a la fase NO-REM. Además, el tiempo que dedica a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas. Por otro lado, a la Fase III se dedica el cuádruple que a la Fase I. Si una persona ha dormido 8 horas, ¿cuántos minutos dedica a las Fases I, II y III del ciclo del sueño?

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº Minutos Fase I NO-REM}\\ y = \hbox{Nº Minutos Fase II NO-REM}\\ z =\hbox{Nº Minutos Fase III NO-REM}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x + y + z = 0.75 \cdot 8 \cdot 60\\ y = 2(x+z)\\ z= 4x\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{R} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x = 24\\y = 240\\ z = 96\\ \end{array}\right.$$

Problema (#23)

En una cafetería, tres cafés, una tostada y dos zumos de naranja cuestan 7.50 €. Cuatro cafés, una tostada y un zumo de naranja cuestan 7.20 €. Calcula, de forma razonada, el precio total de dos cafés, una tostada y tres zumos de naranja. ¿El precio de un zumo de naranja podría ser de 2 €? Razona la respuesta.

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Precio café (€)}\\ y = \hbox{Precio tostada (€)}\\ z =\hbox{Precio zumo (€)}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} 3x + y + 2z = 7.50\\ 4x + y + z = 7.20\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{R} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.I. (Infinitas soluciones dependientes de un parámetro): $$\left \{\begin{array}{l} x = \lambda - 0.3 \\y = -5 \lambda + 8.4 \\ z = \lambda\\ \end{array}\right., \lambda \in \mathbf{R}$$

De las infinitas soluciones del sistema compatible indeterminado, no todas son solución del problema. Se deben cumplir las restricciones del problema para las variables \(x, y, z\). Por tanto:

$$\left \{\begin{array}{l} x \geq 0\\ y \geq 0\\ z \geq 0\\ \end{array}\right. \Rightarrow \left \{\begin{array}{l} \lambda - 0.3 \geq 0\\ -5 \lambda + 8.4 \geq 0\\ \lambda \geq 0\\ \end{array}\right. \Rightarrow \left \{\begin{array}{l} \lambda \geq 0.3\\ \lambda \leq \displaystyle{\frac{8.4}{5}}\\ \lambda \geq 0\\ \end{array}\right., \lambda \in \mathbf{R} \Rightarrow \left \{\begin{array}{l} \lambda \geq 0.3\\ \lambda \leq 1.68\\ \lambda \geq 0\\ \end{array}\right., \lambda \in \mathbf{R}$$ $$\Rightarrow \lambda \in \left[0.3,1.68\right], \lambda \in \mathbf{R}$$

El precio de 2 cafés, una tostada y tres zumos de naranja es: $$2(\lambda - 0.3) + (-5\lambda +8.4) + 3 \lambda = 2\lambda -0.6 -5\lambda +3\lambda = 7.8 \quad €$$

El precio de un zumo de naranja no puede ser de 2 €, ya que \(z=\lambda, \lambda \in \left[0.3,1.68\right]\).

Problema (#24)

En una empresa se fabrican tres tipos de productos plásticos: botellas, garrafas y bidones. Se utiliza como materia prima 10 kg de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos, para cada garrafa 100 gramos y 1 kg para cada bidón. El gerente también nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por último, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo, en las máquinas se producen en total 52 productos cada hora. ¿Cuántas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora?

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº botellas}\\ y = \hbox{Nº garrafas}\\ z = \hbox{Nº bidones}\\ \end{array}\right\}$$

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} 50x + 100y + 1000z = 10000\\ x = 2y\\ x + y + z = 52\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x = 30\\y = 15\\ z = 7\\ \end{array}\right.$$

Problema (#25)

Una empresa de mensajería opera en tres rutas distintas: A, B y C. Semanalmente hace un total de 70 viajes y el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C. Si sabemos que el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, ¿podemos deducir el número de viajes por cada ruta? Razona la respuesta. Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, ¿cuántos viajes hace por cada ruta?

Solución:

$$\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº viajes ruta A}\\ y = \hbox{Nº viajes ruta B}\\ z =\hbox{Nº viajes ruta C}\\ \end{array}\right\}$$

En el primer caso, planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x + y + z = 70\\ y = x + z\\ 2(x + z) = 70\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.I. (Infinitas soluciones dependientes de un parámetro): $$\left \{\begin{array}{l} x = -\lambda + 35 \\y = 35\\ z = \lambda\\ \end{array}\right., \lambda \in \mathbf{N}$$

De las infinitas soluciones del sistema compatible indeterminado, no todas son solución del problema. Se deben cumplir las restricciones del problema para las variables \(x, y, z\). Por tanto:

$$\left \{\begin{array}{l} x \geq 0\\ y \geq 0\\ z \geq 0\\ \end{array}\right. \Rightarrow \left \{\begin{array}{l} -\lambda + 35 \geq 0\\ 35 \geq 0\\ \lambda \geq 0\\ \end{array}\right. \Rightarrow \left \{\begin{array}{l} \lambda \leq 35\\ 35 \geq 0\\ \lambda \geq 0\\ \end{array}\right., \lambda \in \mathbf{N} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \lambda \in \left[0,35\right], \lambda \in \mathbf{N}$$

Luego, \(\lambda=0,1, \cdots ,34,35\) y el problema tendrá 36 posibles soluciones.

Si \(\lambda=0 \Rightarrow x=35, y=35, z=0\)

Si \(\lambda=1 \Rightarrow x=34, y=35, z=1\)

Si \(\lambda=2 \Rightarrow x=33, y=35, z=2\)

\(\vdots\)

Si \(\lambda=33 \Rightarrow x=2, y=35, z=33\)

Si \(\lambda=34 \Rightarrow x=1, y=35, z=34\)

Si \(\lambda=35 \Rightarrow x=0, y=35, z=35\)

En el segundo caso, planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x + y + z = 70\\ y = x + z\\ 2z = y-5\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N} \quad x,y,z \geq 0$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x = 20\\y = 35\\ z = 15\\ \end{array}\right.$$