2ºBACH CCSS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (PROBLEMAS)

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Problema (#1)

Una empresa de repostería tiene 10 vehículos entre motocicletas (2 ruedas), turismos (4 ruedas) y pequeños camiones de reparto (6 ruedas). El impuesto municipal, por vehículo es de 20 €, 50 € y 80 €, respectivamente. Sabiendo que ha pagado un total de 410 € por este concepto y que el total de ruedas de sus vehículos es de 34, ¿cuántos vehículos tiene de cada tipo?

Solución:

\(\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº motos}\\ y = \hbox{Nº turismos}\\ z = \hbox{Nº camiones}\\ \end{array}\right\}\)

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x + y + z = 10\\ 2x + 4y + z = 34\\ 20x + 50y + 80z = 410\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N}$$ $$0 \leq x,y,z \leq 10$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.I. (Infinitas soluciones) dependientes de un parámetro: $$\left \{\begin{array}{l} x = \lambda +3 \\y = -2 \lambda +7 \\ z = \lambda\\ \end{array}\right., \lambda \in \mathbf{R}$$

De las infinitas soluciones del sistema compatible indeterminado, no todas son solución del problema. Se deben cumplir las restricciones del problema para las variables \(x, y, z\). Por tanto:

$$\left \{\begin{array}{l} 0 \leq x \leq 10\\ 0 \leq y \leq 10\\ 0 \leq z \leq 10\\ \end{array}\right. \Rightarrow \left \{\begin{array}{l} 0 \leq \lambda + 3 \leq 10\\ 0 \leq -2 \lambda + 7 \leq 10\\ 0 \leq \lambda \leq 10\\ \end{array}\right. \Rightarrow \left \{\begin{array}{l} -3 \leq \lambda \leq 7\\ -\displaystyle{\frac{3}{2}} \leq \lambda \leq \displaystyle{\frac{7}{2}}\\ 0 \leq \lambda \leq 10\\ \end{array}\right., \lambda \in \mathbf{N} \Rightarrow \lambda \in \left[0,\displaystyle{\frac{7}{2}}\right], \lambda \in \mathbf{N}$$

Luego, \(\lambda=0,1,2,3\) y el problema tendrá cuatro posibles soluciones.

Si \(\lambda=0 \Rightarrow x=3, y=7, z=0\)

Si \(\lambda=1 \Rightarrow x=4, y=5, z=1\)

Si \(\lambda=2 \Rightarrow x=5, y=3, z=2\)

Si \(\lambda=3 \Rightarrow x=6, y=1, z=3\)

Problema (#2)

Tres amigos, Marcos, Luis y Miguel, son aficionados a la música. Entre los tres poseen un total de discos compactos (CD) comprendidos entre 16 y 22. Marcos presta 4 CD a Miguel, Luis presta 1 CD a Marcos y Miguel presta 2 CD a Luis, con lo cual los tres amigos tienen ahora el mismo número de CD. ¿Cuántos CD pueden tener en total?

Solución:

\(\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº discos de Marcos}\\ y = \hbox{Nº discos de Luis}\\ z = \hbox{Nº discos de Miguel}\\ \end{array}\right\}\)

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x-3=y+1\\ x-3=z+2\\ y+1=z+2\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N}$$ $$16 \leq x+y+z \leq 22$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.I. (Infinitas soluciones) dependientes de un parámetro: $$\left \{\begin{array}{l} x = 5+\lambda \\y = 1+\lambda \\ z = \lambda\\ \end{array}\right., \lambda \in \mathbf{R}$$

De las infinitas soluciones del sistema compatible indeterminado, no todas son solución del problema. Se deben cumplir las restricciones del problema para las variables \(x, y, z\). Por tanto:

$$16 \leq x+y+z \leq 22 \Rightarrow 16 \leq (5+\lambda)+(1+\lambda)+\lambda \leq 22 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow16 \leq 6+3\lambda \leq 22 \Rightarrow 10 \leq 3\lambda \leq 16 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \displaystyle{\frac{10}{3}} \leq \lambda \leq \displaystyle{\frac{16}{3}}, \lambda \in \mathbf{N} \Rightarrow \lambda \in \left[\displaystyle{\frac{10}{3}},\displaystyle{\frac{16}{3}}\right], \lambda \in \mathbf{N}$$

Luego, \(\lambda=4\) ó \(5\) y el problema tendrá dos posibles soluciones.

Si \(\lambda=4 \Rightarrow x=9, y=5, z=4\)

Si \(\lambda=5 \Rightarrow x=10, y=6, z=5\)

Problema (#3)

En un examen de Matemáticas que constaba de tres problemas puntuados cada uno de ellos sobre 10, un alumno obtuvo una calificación media de 6 puntos. La puntuación del primer problema fue un 40% más que la del segundo, y la del tercero fue la mitad de la suma de las puntuaciones del primero y el segundo. ¿Cuál fue la puntuación de cada problema?

Solución:

\(\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Puntuación problema 1}\\ y = \hbox{Puntuación problema 2}\\ z = \hbox{Puntuación problema 3}\\ \end{array}\right\}\)

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} \displaystyle{\frac{x+y+z}{3}}=6\\ x=1.4y\\ z=\displaystyle{\frac{x+y}{2}}\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N}$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=7\\ y=5\\ z=6\\ \end{array}\right.$$

Problema (#4)

Un taller de carpintería ha vendido 15 muebles, entre sillas, sillones y butacas, por un total de 1600 euros. Se sabe que cobra 50 euros por cada silla, 150 euros por cada sillón y 200 euros por cada butaca, y que el número de butacas es la cuarta parte del número que suman los demás muebles. ¿Cuántos muebles de cada clase ha vendido ese taller?

Solución:

\(\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº sillas}\\ y = \hbox{Nº sillones}\\ z = \hbox{Nº butacas}\\ \end{array}\right\}\)

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x+y+z=15\\ 50x+150y+200z=1600\\ z = \displaystyle{\frac{x+y}{4}}\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N}$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=8\\ y=4\\ z=3\\ \end{array}\right.$$

Problema (#5)

Un tren transporta 470 pasajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 6800 € Calcula cuántos viajeros han pagado el importe total del billete que asciende a 16 €, cuántos han pagado el 80% del billete y cuántos el 50, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 50% es la mitad del número de viajeros que pagaron el 80%.

Solución:

\(\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº pasajeros que pagan el total del importe}\\ y = \hbox{Nº pasajeros que pagan el 50% del importe}\\ z = \hbox{Nº pasajeros que pagan el 80% del importe}\\ \end{array}\right\}\)

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x+y+z=470\\ 16x+0.5 \cdot 16y+0.80 \cdot 16z=6800\\ y=\displaystyle{\frac{z}{2}}\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N}$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=320\\ y=50\\ z=100\\ \end{array}\right.$$

Problema (#6)

Alumnos de dos grupos distintos, A y B, realizan un mismo examen de Matemáticas Aplicadas a las CC.SS. II. Se sabe que la nota media en el grupo A ha sido de 4.5 puntos y de 5.4 puntos en el B. Calcule el número de alumnos de cada grupo, sabiendo que los dos suman 72 alumnos y que la nota media de los 72 alumnos ha sido 4.95 puntos.

Solución:

\(\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº alumnos grupo A}\\ y = \hbox{Nº alumnos grupo B}\\ \end{array}\right\}\)

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x+y=72\\ 4.95=\displaystyle{\frac{4.5x+5.4y}{x+y}}\\ \end{array}\right.$$ $$x, y \in \mathbf{N}$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=36\\ y=36\\ \end{array}\right.$$

Problema (#7)

El cajero de un banco sólo dispone de billetes de 10, 20 y 50 euros. Hemos sacado 290 euros del banco y el cajero nos ha entregado exactamente 8 billetes. El número de billetes de 10 euros que nos ha dado es el doble del de 20 euros. Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema para obtener el número de billetes de cada tipo que nos ha entregado el cajero.

Solución:

\(\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº billetes de 10€}\\ y = \hbox{Nº billetes de 20€}\\ z = \hbox{Nº billetes de 50€}\\ \end{array}\right\}\)

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x+y+z=8\\ 10x+20y+50z=290\\ x=2y\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N}$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=2\\ y=1\\ z=5\\ \end{array}\right.$$

Problema (#8)

Un vendedor dispone de tres tipos de piensos: A , B y C. A cierto ganadero le cobra 62 céntimos el kilo de una mezcla formada por una parte de pienso A, dos de B y tres de C. A otro ganadero le cobra 48 céntimos el kilo de una mezcla formada por dos partes del pienso A y una del tipo B.

• Calcula el precio del kilo de cada tipo de pienso sabiendo que la mezcla, a partes iguales, de los tipos B y C cuesta 65 céntimos el kilo.
• Calcula el precio del kilo de una mezcla, a partes iguales, de cada tipo de pienso.

Solución:

\(\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Precio Kg pienso A}\\ y = \hbox{Precio Kg pienso B}\\ z = \hbox{Precio Kg pienso C}\\ \end{array}\right\}\)

• Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x+2y+3z=62 \cdot 6\\ 2x+y=48 \cdot 3\\ y+z=65 \cdot 2\\ \end{array}\right.$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=42\\ y=60\\ z=70\\ \end{array}\right.$$

• El precio del kilo de una mezcla, a partes iguales, sería de:

$$\displaystyle{\frac{42+60+70}{3}}=57.3$$

Problema (#9)

De tres cantidades distintas \(r < s < t\) se sabe que la suma de las tres es igual a 113, que al dividir la mayor entre la menor se obtiene un cociente igual a 6 y un resto igual a 4, y que al dividir la mayor entre la cantidad intermedia se obtiene un cociente igual a 2 y un resto igual a 6. Calcule el valor de cada cantidad.

Solución:

\(\left.\begin{array}{l} r = \hbox{Cantidad menor}\\ s = \hbox{Cantidad intermedia}\\ t = \hbox{Cantidad mayor}\\ \end{array}\right\}\)

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} r+s+t=113\\ 6r+4=t\\ 2s+6=t\\ \end{array}\right.$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} r=11\\ s=32\\ t=70\\ \end{array}\right.$$

Problema (#10)

Un comerciante ha vendido 600 camisetas por un total de 6300 €. Su precio original era de 12 € por camiseta, pero ha vendido en las rebajas una parte de ellas con un descuento del 30% del precio original y otra parte con un descuento del 40%. Sabiendo que el número total de camisetas rebajadas fue la mitad del número de las que vendió a 12 €, ¿cuántas camisetas vendió a cada precio?

Solución:

\(\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº camisetas precio original}\\ y = \hbox{Nº camisetas rebajadas un 30%}\\ z = \hbox{Nº camisetas rebajadas un 40%}\\ \end{array}\right\}\)

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x+y+z=600\\ 12x+0.7 \cdot 12y+0.6 \cdot 12z=6300\\ y+z=\displaystyle{\frac{x}{2}}\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N}$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=400\\ y=50\\ z=150\\ \end{array}\right.$$

Problema (#11)

Un establecimiento pone a la venta tres tipos de camisas A, B y C. Se sabe que la razón entre los precios de las camisas C y B es \(\displaystyle{\frac{19}{18}}\) y entre los de B y A es \(\displaystyle{\frac{6}{5}}\). Al comprar tres camisas, una de cada clase, se pagan 130 €. ¿Cuál es el precio de cada camisa?

Solución:

\(\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Precio camisa A}\\ y = \hbox{Precio camisa B}\\ z = \hbox{Precio camisa C}\\ \end{array}\right\}\)

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} \displaystyle{\frac{z}{y}}=\displaystyle{\frac{19}{18}}\\ \displaystyle{\frac{y}{x}}=\displaystyle{\frac{6}{5}}\\ x+y+z=130\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N}$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=37.5\\ y=45\\ z=47.5\\ \end{array}\right.$$

Problema (#12)

Una fábrica de electrodomésticos tiene una producción semanal fija de 42 unidades. La fábrica abastece a tres establecimientos A, B y C, que demandan toda su producción. En una determinada semana el establecimiento A solicitó tantas unidades como B y C juntos y, por otro lado, B solicitó un 20% más que la suma de la mitad de lo que pidió A más la tercera parte de lo que pidió C. ¿Cuántas unidades solicitó cada establecimiento dicha semana?

Solución:

\(\left.\begin{array}{l} x = \hbox{Nº unidades establecimiento A}\\ y = \hbox{Nº unidades establecimiento B}\\ z = \hbox{Nº unidades establecimiento C}\\ \end{array}\right\}\)

Planteando el sistema de ecuaciones lineales:

$$\left \{\begin{array}{l} x+y+z=42\\ x=y+z\\ y=1.2\left(\displaystyle{\frac{x}{2}}+\displaystyle{\frac{z}{3}}\right)\\ \end{array}\right.$$ $$x, y, z \in \mathbf{N}$$

Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): $$\left \{\begin{array}{l} x=21\\ y=15\\ z=6\\ \end{array}\right.$$