2ºBACH CCSS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (PROBLEMAS)
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Problema (#1)
Solución:
x=Nº motosy=Nº turismosz=Nº camiones}
Planteando el sistema de ecuaciones lineales:
{x+y+z=102x+4y+z=3420x+50y+80z=410 x,y,z∈N 0≤x,y,z≤10
Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.I. (Infinitas soluciones) dependientes de un parámetro: {x=λ+3y=−2λ+7z=λ,λ∈R
De las infinitas soluciones del sistema compatible indeterminado, no todas son solución del problema. Se deben cumplir las restricciones del problema para las variables x,y,z. Por tanto:
{0≤x≤100≤y≤100≤z≤10⇒{0≤λ+3≤100≤−2λ+7≤100≤λ≤10⇒{−3≤λ≤7−32≤λ≤720≤λ≤10,λ∈N⇒λ∈[0,72],λ∈N
Luego, λ=0,1,2,3 y el problema tendrá cuatro posibles soluciones.
Si λ=0⇒x=3,y=7,z=0
Si λ=1⇒x=4,y=5,z=1
Si λ=2⇒x=5,y=3,z=2
Si λ=3⇒x=6,y=1,z=3
Problema (#2)
Solución:
x=Nº discos de Marcosy=Nº discos de Luisz=Nº discos de Miguel}
Planteando el sistema de ecuaciones lineales:
{x−3=y+1x−3=z+2y+1=z+2 x,y,z∈N 16≤x+y+z≤22
Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.I. (Infinitas soluciones) dependientes de un parámetro: {x=5+λy=1+λz=λ,λ∈R
De las infinitas soluciones del sistema compatible indeterminado, no todas son solución del problema. Se deben cumplir las restricciones del problema para las variables x,y,z. Por tanto:
16≤x+y+z≤22⇒16≤(5+λ)+(1+λ)+λ≤22⇒ ⇒16≤6+3λ≤22⇒10≤3λ≤16⇒ ⇒103≤λ≤163,λ∈N⇒λ∈[103,163],λ∈N
Luego, λ=4 ó 5 y el problema tendrá dos posibles soluciones.
Si λ=4⇒x=9,y=5,z=4
Si λ=5⇒x=10,y=6,z=5
Problema (#3)
Solución:
x=Puntuación problema 1y=Puntuación problema 2z=Puntuación problema 3}
Planteando el sistema de ecuaciones lineales:
{x+y+z3=6x=1.4yz=x+y2 x,y,z∈N
Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=7y=5z=6
Problema (#4)
Solución:
x=Nº sillasy=Nº sillonesz=Nº butacas}
Planteando el sistema de ecuaciones lineales:
{x+y+z=1550x+150y+200z=1600z=x+y4 x,y,z∈N
Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=8y=4z=3
Problema (#5)
Solución:
x=Nº pasajeros que pagan el total del importey=Nº pasajeros que pagan el 50% del importez=Nº pasajeros que pagan el 80% del importe}
Planteando el sistema de ecuaciones lineales:
{x+y+z=47016x+0.5⋅16y+0.80⋅16z=6800y=z2 x,y,z∈N
Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=320y=50z=100
Problema (#6)
Solución:
x=Nº alumnos grupo Ay=Nº alumnos grupo B}
Planteando el sistema de ecuaciones lineales:
{x+y=724.95=4.5x+5.4yx+y x,y∈N
Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=36y=36
Problema (#7)
Solución:
x=Nº billetes de 10€y=Nº billetes de 20€z=Nº billetes de 50€}
Planteando el sistema de ecuaciones lineales:
{x+y+z=810x+20y+50z=290x=2y x,y,z∈N
Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=2y=1z=5
Problema (#8)
- Calcula el precio del kilo de cada tipo de pienso sabiendo que la mezcla, a partes iguales, de los tipos B y C cuesta 65 céntimos el kilo.
- Calcula el precio del kilo de una mezcla, a partes iguales, de cada tipo de pienso.
Solución:
x=Precio Kg pienso Ay=Precio Kg pienso Bz=Precio Kg pienso C}
- Planteando el sistema de ecuaciones lineales:
{x+2y+3z=62⋅62x+y=48⋅3y+z=65⋅2
Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=42y=60z=70
- El precio del kilo de una mezcla, a partes iguales, sería de:
Problema (#9)
Solución:
r=Cantidad menors=Cantidad intermediat=Cantidad mayor}
Planteando el sistema de ecuaciones lineales:
{r+s+t=1136r+4=t2s+6=t
Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {r=11s=32t=70
Problema (#10)
Solución:
x=Nº camisetas precio originaly=Nº camisetas rebajadas un 30%z=Nº camisetas rebajadas un 40%}
Planteando el sistema de ecuaciones lineales:
{x+y+z=60012x+0.7⋅12y+0.6⋅12z=6300y+z=x2 x,y,z∈N
Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=400y=50z=150
Problema (#11)
Solución:
x=Precio camisa Ay=Precio camisa Bz=Precio camisa C}
Planteando el sistema de ecuaciones lineales:
{zy=1918yx=65x+y+z=130 x,y,z∈N
Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=37.5y=45z=47.5
Problema (#12)
Solución:
x=Nº unidades establecimiento Ay=Nº unidades establecimiento Bz=Nº unidades establecimiento C}
Planteando el sistema de ecuaciones lineales:
{x+y+z=42x=y+zy=1.2(x2+z3) x,y,z∈N
Resolviendo por el método de Gauss, el sistema resulta ser S.C.D. (Solución única): {x=21y=15z=6