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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (FORMULARIOS)


Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de \(m\) ecuaciones con \(n\) incógnitas es de la forma:

$$\left \{\begin{matrix} a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 + & \cdots & + & a_{1n}x_n & = & b_1\\ a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 + & \cdots & + & a_{2n}x_n & = & b_2\\ \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & & \vdots\\ a_{m1}x_1 & + & a_{m2}x_2 + & \cdots & + & a_{mn}x_n & = & b_m\\ \end{matrix}\right.$$

donde:

  • Los números reales \(a_{ij}\) son los coeficientes de las incógnitas.
  • Los números reales \(b_1, b_2, \cdots, b_m\) son los términos independientes.
  • Los números reales \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) son las incógnitas del sistema.

Clasificación de los Sistemas de Ecuaciones (según el número de soluciones)

Una solución de un sistema de \(m\) ecuaciones con \(n\) incógnitas es un conjunto de \(n\) valores reales, uno para cada una de las incógnitas, tales que sustituidos en las \(m\) ecuaciones, hacen que todas ellas se verifiquen.

Los sistemas de ecuaciones se clasifican según el número de soluciones en:
  • Incompatibles: No tiene ninguna solución (S.I.)
  • Compatibles: Tienen solución.
    • Compatible determinado: Tiene una única solución (S.C.D.)
    • Compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones (S.C.I.)

Sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Si en un sistema de ecuaciones lineales realizamos alguna de las siguientes transformaciones, se obtiene siempre en sistema de ecuaciones equivalente:
  • Cambiar el orden de las ecuaciones.
  • Multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.
  • Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
  • Eliminar una ecuación que es combinación lineal de otras.

Sistemas escalonados

Un sistema de \(m\) ecuaciones con \(n\) incógnitas es escalonado si es de la forma:

$$\left \{\begin{matrix} c_{11}x_1 & + & c_{12}x_2 & + & \cdots & + & c_{1n}x_n & = & d_1\\ & & c_{22}x_2 & + & \cdots & + & c_{2n}x_n & = & d_2\\ & & & & \ddots & & \vdots & & \vdots\\ & & & & & & c_{mn}x_n & = & d_m \end{matrix}\right.$$

donde:

  • Los números reales \(c_{ij}\) son los coeficientes de las incógnitas.
  • Los números reales \(d_1, d_2, \cdots, d_m\) son los términos independientes.
  • Los números reales \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) son las incógnitas del sistema.

Método de Gauss

El método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineal consiste en obtener, mediante las transformaciones adecuadas, un sistema equivalente y escalonado, más sencillo de resolver.

Sistemas de Ecuaciones Lineales Homogéneos

Un sistema de \(m\) ecuaciones con \(n\) incógnitas es homogéneo si \(b_1=b_2=\cdots=b_m=0\):

$$\left \{\begin{matrix} a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 + & \cdots & + & a_{1n}x_n & = & 0\\ a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 + & \cdots & + & a_{2n}x_n & = & 0\\ \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & & \vdots\\ a_{m1}x_1 & + & a_{m2}x_2 + & \cdots & + & a_{mn}x_n & = & 0\\ \end{matrix}\right.$$

Todo sistema homogéneo tiene como solución al menos, la \(x_1=x_2=\cdots=x_n=0\), que se denomina solución trivial. Por tanto, un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es siempre compatible (determinado o indeterminado).

Para saber más, puedes ver el siguiente esquema en formato .pdf

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