Cuestión (#1)
Sea \(f(x)\) una función continua en el intervalo \([2,3]\) y \(F(x)\)
una función primitiva de \(f(x)\) tal que \(F(2)=1\) y \(F(3)=2\).
Calcula:
- \(\displaystyle \int_{2}^{3} f(x)dx\)
- \(\displaystyle \int_{2}^{3} (5f(x)-7)dx\)
- \(\displaystyle \int_{2}^{3} (F(x))^2 f(x)dx\)
Solución:
Tenemos que F(x) es una primitiva de f(x), es decir, \(F'(x)=f(x)\),
con: $$F(2)=1,\quad F(3)=2$$
-
\(\displaystyle \int_{2}^{3} f(x)dx\)
Por el Teorema Fundamental del Cálculo: $$\int_{2}^{3} f(x),dx =
F(3)-F(2)=2-1=1$$
-
\(\displaystyle \int_{2}^{3} (5f(x)-7)dx\)
Usamos la linealidad de la integral: $$\int_{2}^{3} (5f(x)-7)dx =
5\int_{2}^{3} f(x) dx - 7\int_{2}^{3} 1dx = (*)$$ Ya sabemos que:
$$\int_{2}^{3} f(x) dx = 1$$ $$\int_{2}^{3} 1 dx =
\left[x\right]_{x=2}^{x=3} = 3-2 = 1$$ Por tanto: $$(*)= 5\cdot 1
- 7\cdot 1 = -2$$
-
\(\displaystyle \int_{2}^{3} (F(x))^2 f(x)dx\)
Como \(f(x)=F'(x)\), hacemos el cambio: $$u = F(x) \quad
\Rightarrow \quad du = f(x)dx$$ Cambiamos los límites: $$x=2
\Rightarrow u=F(2)=1,\quad x=3 \Rightarrow u=F(3)=2$$ La integral
queda: $$\int_{1}^{2} u^2 du$$ Calculamos la integral indefinida:
$$\int u^2 du = \frac{u^3}{3}+C, \quad C \in \mathbb{R}$$ Por
tanto, $$\int_{1}^{2} u^2
du=\left[\frac{u^3}{3}\right]_{x=1}^{x=2} =
\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$$
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