APLICACIONES DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO (CUESTIONES)

Aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Cuestión (#1) Sea \(f(x)\) una función continua en el intervalo \([2,3]\) y \(F(x)\) una función primitiva de \(f(x)\) tal que \(F(2)=1\) y \(F(3)=2\). Calcula: \(\displaystyle{\int_{2}^{3} f(x)dx}\) \(\displaystyle{\int_{2}^{3} (5f(x)-7)dx}\) \(\displaystyle{\int_{2}^{3} (F(x))^2 f(x)dx}\) Solución: Tenemos que F(x) es una primitiva de f(x), es decir, \(F'(x)=f(x)\), con: $$F(2)=1,\quad F(3)=2$$ \(\displaystyle{\int_{2}^{3} f(x)dx}\) Por el Teorema Fundamental del Cálculo: $$\int_{2}^{3} f(x),dx = F(3)-F(2)=2-1=1$$ \(\displaystyle{\int_{2}^{3} (5f(x)-7)dx}\) Usamos la linealidad de la integral: $$\int_{2}^{3} (5f(x)-7)dx = 5\int_{2}^{3} f(x) dx - 7\int_{2}^{3} 1dx = (*)$$ Ya sabemos que: $$\int_{2}^{3} f(x) dx = 1$$ $$\int_{2}^{3} 1 dx = \left[x\right]_{x=2}^{x=3} = 3-2 = 1$$ Por tanto: $$(*)= 5\cdot 1 - 7\cdot 1 = -2$$ \(\displaystyle{\int_{2}^{3} (F(x))^2 f(x)dx}\) Como \(f(x)=F'(x)\), hacemos el cambio: $$u = F(x) \quad \Rightarrow \quad du = f(x)dx$$ Cambiamos los límites: $$x=2 \Rightarrow u=F(2)=1,\quad x=3 \Rightarrow u=F(3)=2$$ La integral queda: $$\int_{1}^{2} u^2 du$$ Calculamos la integral indefinida: $$\int u^2 du = \frac{u^3}{3}+C, \quad C \in \mathbb{R}$$ Por tanto, $$\int_{1}^{2} u^2 du=\left[\frac{u^3}{3}\right]_{x=1}^{x=2} = \frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$$

Cuestión (#2) Considera la función \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por $$f(x)=\displaystyle{\int_{0}^{x}{cos(t)sen²(t)dt}}$$ Determina las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}.\) Solución: La ecuación de la recta tangente a la función \(f\) en el punto de abscisa \(x_0=\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\) es: $$y-f\left(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)=f'\left(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)\left(x-\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)$$ La ecuación de la recta normal a la función \(f\) en el punto de abscisa \(x_0=\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\) es: $$y-f\left(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)=\displaystyle{\frac{-1}{f'\left(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)}}\left(x-\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)$$ Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, obtenemos: \(f'(x)=cos(x)sen^2(x)\) \(f'\left(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)=cos\left(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)sen^2\left(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)=\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot \left(\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} \right )^{2}=\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot \displaystyle{\frac{2}{4}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{4}}\) Por tanto, \(f'\left(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)=\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{4}}\). Ahora calculamos el valor de la función \(f\) en \(x=\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\): \(f\left (\displaystyle{\displaystyle{\frac{\pi}{4}}}\right)=\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{cos(t)sen^2(t)dt}}\) Para resolver la integral obtenemos una primitiva mediante un cambio de variable: \(\left\{\begin{matrix} u=sen(t) \\ du=cos(t)dt \end{matrix}\right.\) \(\displaystyle{\int{cos(t)sen^2(t)\,dt}}=\displaystyle{\int{u^2\,du}}=\displaystyle{\frac{u^3}{3}}=\displaystyle{\frac{sen^3(t)}{3}}+ C, \quad C \in \mathbb{R}\) Aplicando la regla de Barrow: \(\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{cos(t)sen^2(t)dt}}=\left[\displaystyle{\frac{sen^3(t)}{3}}+C\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\displaystyle{\left( \displaystyle{\frac{sen^3 \left(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)}{3}}+C \right)-\left( \displaystyle{\frac{sen^3(0)}{3}}+C \right)}=\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{12}}\) Por tanto, \(f\left(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)=\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{12}}\). La ecuación de la recta tangente a la función \(f\) en el punto de abscisa \(x_0=\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\) es: $$y-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{12}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{4}}\left(x-\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)$$ La ecuación de la recta normal a la función \(f\) en el punto de abscisa \(x_0=\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\) es: $$y-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{12}}=\displaystyle{-2\sqrt{2}}\left(x-\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)$$

Cuestión (#3) Considera la función \(F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por $$F(x)=\displaystyle{\int_{0}^{x}{sen(t^{2})dt}}$$ Calcula el \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{xF(x)}{sen(x^{2})}}}.\) Solución: \(\displaystyle{}\)

Cuestión (#4) Sabiendo que la función \(F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \(F(x)=\displaystyle{e^{x^{2}}}\) es una primitiva de la función \(f\). Comprueba que \(f\) es creciente. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función \(f\) , el eje de abscisas y la recta \(x=1\). Solución: \(\displaystyle{}\) \(\displaystyle{}\)

Cuestión (#5) Considera la función \(F: [0,2\pi] \rightarrow \mathbb{R}\) definida por $$F(x)=\displaystyle{\int_{0}^{x}{2tcos(t)dt}}$$ es una primitiva de la función \(f\). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(F\). Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(F\) en el punto de abscisa \(x=\pi\). Solución: \(\displaystyle{}\) \(\displaystyle{}\)

Cuestión (#6) Considera la función \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por $$f(x)=1+\displaystyle{\int_{0}^{x}{te^{t}dt}}$$ Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \(f\) y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Solución: Estudiamos la concavidad y los puntos de inflexión de la función \(f(x)\) estudiando el signo de \(f''(x)\). Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, obtenemos: \(f'(x)=x\,e^x\) \(f''(x)=(x\,e^x)'=e^x+x\,e^x=e^x(x+1)\) Estudiando del signo de la segunda derivada: \(f''(x)=0\) \(e^x(x+1)=0 \Leftrightarrow x+1=0 \Leftrightarrow x=-1\), ya que \(e^x > 0\) para todo número real. Si \(x < -1 \Rightarrow f''(x) < 0 \Rightarrow f(x)\) es cóncava en el intervalo \( (-\infty,-1) \). Si \(x > -1 \Rightarrow f''(x) > 0 \Rightarrow f(x)\) es convexa en el intervalo \( (-1,\infty) \). \(x=-1\) punto de inflexión de \(f(x)\). Ahora calculamos el valor de la función en \(x=-1\): \(f(-1)=1+\displaystyle{\int_0^{-1} t\,e^t\,dt}\) Para resolver la integral obtenemos una primitiva por el método de integración por partes: \(\displaystyle{\int t\,e^t\,dt=e^t(t-1)+ C}, \quad C \in \mathbb{R}\) Aplicando la regla de Barrow: \(\displaystyle{\int_0^{-1} t\,e^t\,dt=\Big[e^t(t-1)\Big]_0^{-1}}=\displaystyle{\left(-\frac{2}{e}+C\right)-(-1+C)}=\displaystyle{1-\displaystyle{\frac{2}{e}}}\) Por tanto: \(f(-1)=\displaystyle{1+\left(1-\frac{2}{e}\right)}=\displaystyle{2-\frac{2}{e}}\)