APLICACIONES DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO (CUESTIONES)

Aplicación del Teorema fundamental del Cálculo Integral

Cuestión (#1) Sea \(f(x)\) una función continua en el intervalo \([2,3]\) y \(F(x)\) una función primitiva de \(f(x)\) tal que \(F(2)=1\) y \(F(3)=2\). Calcula: \(\displaystyle{\int_{2}^{3} f(x)dx}\) \(\displaystyle{\int_{2}^{3} (5f(x)-7)dx}\) \(\displaystyle{\int_{2}^{3} (F(x))^2 f(x)dx}\) Solución: Tenemos que F(x) es una primitiva de f(x), es decir, \(F'(x)=f(x)\), con: $$F(2)=1,\quad F(3)=2$$ \(\displaystyle{\int_{2}^{3} f(x)dx}\) Por el Teorema Fundamental del Cálculo: $$\int_{2}^{3} f(x),dx = F(3)-F(2)=2-1=1$$ \(\displaystyle{\int_{2}^{3} (5f(x)-7)dx}\) Usamos la linealidad de la integral: $$\int_{2}^{3} (5f(x)-7)dx = 5\int_{2}^{3} f(x) dx - 7\int_{2}^{3} 1dx = (*)$$ Ya sabemos que: $$\int_{2}^{3} f(x) dx = 1$$ $$\int_{2}^{3} 1 dx = \left[x\right]_{x=2}^{x=3} = 3-2 = 1$$ Por tanto: $$(*)= 5\cdot 1 - 7\cdot 1 = -2$$ \(\displaystyle{\int_{2}^{3} (F(x))^2 f(x)dx}\) Como \(f(x)=F'(x)\), hacemos el cambio: $$u = F(x) \quad \Rightarrow \quad du = f(x)dx$$ Cambiamos los límites: $$x=2 \Rightarrow u=F(2)=1,\quad x=3 \Rightarrow u=F(3)=2$$ La integral queda: $$\int_{1}^{2} u^2 du$$ Calculamos la integral indefinida: $$\int u^2 du = \frac{u^3}{3}+C, \quad C \in \mathbb{R}$$ Por tanto, $$\int_{1}^{2} u^2 du=\left[\frac{u^3}{3}\right]_{x=1}^{x=2} = \frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$$

Cuestión (#2) Considera la función \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por $$f(x)=\displaystyle{\int_{0}^{x}{cos(t)sen²(t)dt}}$$ Determina las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}.\) Solución: \(\displaystyle{}\)

Cuestión (#3) Considera la función \(F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por $$F(x)=\displaystyle{\int_{0}^{x}{sen(t^{2})dt}}$$ Calcula el \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{xF(x)}{sen(x^{2})}}}.\) Solución: \(\displaystyle{}\)

Cuestión (#4) Sabiendo que la función \(F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \(F(x)=\displaystyle{e^{x^{2}}}\) es una primitiva de la función \(f\). Comprueba que \(f\) es creciente. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función \(f\) , el eje de abscisas y la recta \(x=1\). Solución: \(\displaystyle{}\) \(\displaystyle{}\)

Cuestión (#5) Considera la función \(F: [0,2\pi] \rightarrow \mathbb{R}\) definida por $$F(x)=\displaystyle{\int_{0}^{x}{2tcos(t)dt}}$$ es una primitiva de la función \(f\). Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(F\). Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(F\) en el punto de abscisa \(x=\pi\). Solución: \(\displaystyle{}\) \(\displaystyle{}\)

Cuestión (#6) Considera la función \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por $$f(x)=1+\displaystyle{\int_{0}^{x}{te^{t}dt}}$$ Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \(f\) y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Solución: \(\displaystyle{}\)