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ENTRE CIMAS Y SIMAS (#72): Los puntos señalados en el rectángulo de la figura son los puntos medios de dos lados del rectángulo. ¿Qué fracción del área del rectángulo está sombreada?
¿Y en este caso?
¿Y en este otro caso? ¿Sabrías generalizar el resultado a cualquier número de triángulos en las mismas condiciones del problema?
Pistas:
Solución:
Llamemos b y h a la base y la altura del rectángulo, respectivamente.
Llamemos \(b_{1}, \cdots , b_{n}\) y \(h_{1}, \cdots , h_{n}\) a las bases y las alturas de cada triángulo, respectivamente.
$$Área \ (sombreada) = \frac{1}{2} \cdot b_{1} \cdot h_{1} + \cdots + \frac{1}{2} \cdot b_{n} \cdot h_{n}=$$ $$= \frac{1}{2} \cdot b_{1} \cdot \frac{h}{2} + \cdots + \frac{1}{2} \cdot b_{n} \cdot \frac{h}{2}=$$ $$= \frac{1}{2} \cdot \left(b_{1} + \cdots + b_{n}\right) \cdot \frac{h}{2}=$$ $$=\frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{h}{2}=\frac{1}{4} \cdot b \cdot h=\frac{1}{4} \cdot Área \ (rectángulo)$$
Por tanto, la solución del problema es \(\displaystyle{\frac{1}{4}}\) del área del rectángulo está sombreada.
En general, no es necesario conocer las dimensiones del rectángulo. Lo importante es que los triángulos no se solapen y tengan la misma altura (la mitad de la altura del rectángulo) y que, al sumar sus bases, estas forman exactamente la base completa del rectángulo. Siempre que se den esas circunstancias, la fracción del área del rectángulo sombreada será la misma, \(\displaystyle{\frac{1}{4}}\).