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TRES EN LÍNEA (#69): Siete enteros positivos diferentes de un solo dígito están escritos en los círculos del diagrama que se muestra. El producto de los tres números de cada una de las tres líneas de tres números es el mismo. ¿Qué número ocupará el lugar del círculo que contiene la \(x\)? ¿De cuántas maneras distintas se pueden reordenar los números en el diagrama del problema?
Pistas:
Solución:
Para averiguar los posibles números candidatos a colocar, hallaremos su descomposición factorial: $$\left.\begin{matrix} 1=1 \\ 2=2 \\ 3=3 \\ 4=2^2 \\ 5=5 \\ 6=2 \cdot 3 \\ 7=7 \\ 8=2^3 \\ 9=3^2 \end{matrix}\right\}$$
Se observa que como el producto de los tres números de cada una de las tres líneas de tres números es el mismo, el 5 y el 7 no pueden ser candidatos ya que en la factorización en factores primos solamente aparece una vez cada uno y es imposible por la distribución del problema que esos factores puedan aparecer en las tres líneas a la vez.
Por tanto, los números a colocar en el diagrama del problema son el 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 9.
Como el producto de los tres números de cada una de las tres líneas de tres números es el mismo, y entre esos números aparece el 8 y el 9 (los mayores), el producto de esos tres números debe ser un múltiplo del m.c.m.(8,9). $$m.c.m.(8,9)=72$$
De este modo, el producto de esos tres números debe ser un múltiplo de 72.
De entre las posiciones que pueden ocupar cada uno de esos números vamos a distinguir dos tipos:
Sin mucho esfuerzo se deduce que el 9 debe ocupar una de las dos posiciones sombreadas de gris y que el 8 debe ocupar una de las posiciones rayadas excepto en la que aparece la x, porque de no ser así, sería imposible. Además, con las cifras que disponemos, y tomándolas de tres en tres, únicamente podemos obtener 72 como resultado de tres formas: $$\left.\begin{matrix} 72=9 \cdot 8 \cdot 1 \\ 72=6 \cdot 4 \cdot 3 \\ 72=9 \cdot 4 \cdot 2 \end{matrix}\right\}$$
Colocando cada trío de cifras en sus posibles lugares, llegamos a la conclusión de que la solución del problema es x=2. Ten en cuenta que la solución del problema es única, pero no la distribución de los tríos de cifras en el diagrama, ya que podemos intercambiar las cifras entre las posiciones del mismo color, obteniendo 8 posibles distribuciones distintas como se muestra en la solución.
