TEOREMA DE PITÁGORAS

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

$$\displaystyle{a^{2}=b^{2}+c^{2}}$$

Mediante este enlace a un applet del programa de geometría dinámica  GeoGebra, puedes ver una demostración animada.

Para saber más sobre este resultado, puedes seguir el enlace a Teorema de Pitagóras en Wikipedia.

Ternas Pitagóricas

Una terna pitagórica es un conjunto de tres números naturales que cumplen el Teorema de Pitágoras.

$$\displaystyle{a^{2}=b^{2}+c^{2}}$$

Podemos generar ternas pitagóricas por varios métodos:

Método de Diofanto

Dado un número $m \in \mathbb{N}$, $m > 1$, la terna $(a,b,c)$ es pitagórica si:

$$\left\{\begin{array}{c} \displaystyle{a = 2m} \\ \displaystyle{b = m^2-1} \\ \displaystyle{c = m^2+1} \end{array}\right.$$

Las 15 primeras ternas obtenidas por este método son las siguientes:

(4,3,5), (6,8,10), (8,15,17), (10,24,26), (12,35,37), (14,48,50), (16,63,65), (18,80,82), (20,99,101), (22,120,122), (24,143,145), (26,168,170), (28,195,197), (30,224,226), (32,255,257), ...

$n$	$(a,b,c)$

Método de las dos fracciones

Dados dos números $p,q \in \mathbb{N}$, $p,q \geq 1$, $p < q$, la terna $(a,b,c)$ es pitagórica si:

$$\left\{\begin{array}{c} \displaystyle{a = p^2+2pq} \\ \displaystyle{b = 2pq+2q^2} \\ \displaystyle{c = p^2+2pq+2q^2} \end{array}\right.$$

Las 15 primeras ternas obtenidas por este método son las siguientes:

(5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61), (13,84,85), (15,112,113), (17,144,145), (19,180,181), (21,220,221), (23,264,265), (25,312,313), (27,364,365), (29,420,421), (31,480,481), (33,544,545), ...

$n$	$(a,b,c)$

Método de la sucesión de Fibonacci

Tomando 4 términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, $F_{n}$, $F_{n+1}$, $F_{n+2}$ y $F_{n+3}$, la terna $(a,b,c)$ es pitagórica si:

$$\left\{\begin{array}{c} \displaystyle{a = F_{n} \cdot F_{n+3}} \\ \displaystyle{b = 2 F_{n+1} \cdot F_{n+2}} \\ \displaystyle{c = F_{n+1}^2 + F_{n+2}^2} \end{array}\right.$$

Las 15 primeras ternas obtenidas por este método son las siguientes:

(3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), (105,208,233), (272,546,610), (715,1428,1597), (1869,3740,4181), (4896,9790,10946), (12815,25632,28657), (33553,67104,75025), (87840,175682,196418), (229971,459940,514229), (602069,1204140,1346269), (1576240,3152478,3524578), ...

$n$	$(a,b,c)$

Para saber más sobre este resultado, puedes seguir el enlace a Terna pitagórica en Wikipedia.