UN SISTEMA DE ECUACIONES MUY PARTICULAR: Un sistema de ecuaciones
exponencial es aquel en el que la incógnita aparece en el exponente. En este
caso tenemos un sistema exponencial de tres ecuaciones con tres incógnitas del
que desconocemos su solución.
¿Serías capaz de calcular el resultado de la siguiente operación sin usar tu
calculadora?
Si sabes la solución, rellena el siguiente
formulario
para que el profesor te lo evalúe. Como en el acertijo anterior, el primero en
enviarlo correctamente tendrá un positivo.
Pistas:
-
No intentes resolver el sistema de ecuaciones ya que no te resultará
sencillo.
-
Para resolver el problema no es necesario conocer los valores de todas
las incógnitas x, y, z.
-
Debes saber despejar en una ecuación, extraer factor común y aplicar las
propiedades de las potencias.
- No desesperes y al lío.
Solución:
De la primera ecuación obtenemos el valor de \(x\):
$$2^x+2^x=2^4 \Rightarrow 2 \cdot 2^x=2^4 \Rightarrow
2^x=\displaystyle{\frac{2^4}{2}} \Rightarrow 2^x=2^3 \Rightarrow
\boxed{x=3}$$
De la segunda ecuación obtenemos el valor de \(5^y\):
$$5^y+5^y=5^4 \Rightarrow 2 \cdot 5^y=5^4 \Rightarrow
\boxed{5^y=\displaystyle{\frac{5^4}{2}}}$$
De la tercera ecuación obtenemos el valor de \(10^z\):
$$10^z+10^z=10^8 \Rightarrow 2 \cdot 10^z=10^8 \Rightarrow
\boxed{10^z=\displaystyle{\frac{10^8}{2}}}$$
Aplicando propiedades de las potencias, sustituyendo y simplificando,
obtenemos el valor de la expresión del problema:
$$\displaystyle{\frac{10^{x+y+z}}{2^y}}=\displaystyle{\frac{(2 \cdot
5)^{x+y+z}}{2^y}}=\displaystyle{\frac{2^{x+y+z} \cdot 5^{x+y+z}}{2^y}}=$$
$$=\displaystyle{\frac{2^{x} \cdot 2^{y} \cdot 2^{z} \cdot 5^{x} \cdot
5^{y} \cdot 5^{z}}{2^y}}=\displaystyle{2^{x} \cdot 2^{z} \cdot 5^{x} \cdot
5^{y} \cdot 5^{z}}=$$ $$=\displaystyle{(2 \cdot 5)^{x} \cdot 5^{y} \cdot
(2 \cdot 5)^{z}}=\displaystyle{10^{x} \cdot 5^{y} \cdot
10^{z}}=\displaystyle{10^{3} \cdot \displaystyle{\frac{5^4}{2}} \cdot
\displaystyle{\frac{10^8}{2}}}=$$ $$=\displaystyle{\frac{5^4 \cdot
10^{8+3}}{2^2}}=\displaystyle{\frac{5^4 \cdot
10^{11}}{2^2}}=\displaystyle{\frac{5^4 \cdot (2 \cdot
5)^{11}}{2^2}}=\displaystyle{\frac{5^4 \cdot 2^{11} \cdot 5^{11}}{2^2}}=$$
$$=\displaystyle{\frac{2^{11} \cdot 5^{4+11}}{2^2}}=\displaystyle{2^{11-2}
\cdot 5^{15}}=\boxed{\displaystyle{2^{9} \cdot 5^{15}}}$$
