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EL TEOREMA DE ZECKENDORF Y LA SUCESIÓN DE FIBONACCI


Hoy la clasde dará comienzo con un truco de magia con unas cartas muy especiales que encontré en el blog francés Blogdemaths.

El truco consiste en adivinar el número que has elegido de entre los 100 primeros números enteros positivos, simplemente señalando en cuales de las 10 cartas mágicas aparece. ¿Qué te parece el truco?, ¿es sorprendente o no? A continuación veremos que no es magia, son Matemáticas.

Para poder explicarte el truco y que lo entiendas, debemos hacer una breve introducción a la sucesión de Fibonacci y al teorema de Zeckendorf.

Sucesión de Fibonacci

Sucesión de Fibonacci

Esta sucesión se atribuye a Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en Ciencias de la Computación, Matemáticas y Teoría de Juegos. También aparece en la naturaleza, en la disposición de las ramas de los árboles, de las hojas en el tallo, en las flores de alcachofas y girasoles, en la disposición del brécol romanesco, en las piñas de las coníferas, en la reproducción de los conejos y en la estructura espiral del caparazón de algunos moluscos, como el nautilus.

La sucesión de Fibonacci es un ejemplo muy importante de sucesión recursiva en la que los dos primeros términos son iguales a 1 y el resto de términos se obtienen sumando los dos anteriores.

$$\left\{\begin{array}{c} \displaystyle{a_1=1}, \displaystyle{a_2=1} \\ \displaystyle{a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}} \end{array}\right.$$

Sus 50 primeros términos son los siguientes:


Edouard Zeckendorf (1901-1983) médico y oficial del ejército belga de profesión, también fue aficionado a las Matemáticas. Es conocido por su trabajo sobre los números de Fibonacci y, en particular, por demostrar el teorema que lleva su apellido.

Teorema de Zeckendorf

Todo número entero positivo puede escribirse de forma única como suma de números distintos y no consecutivos de la sucesión de Fibonacci.

La demostración de la existencia se realiza por inducción, pero no es adecuada para la edad de mi alumnado. No obstante, dejo el enlace a la demostración del teorema de Zeckendorf para otros posibles lectores de este blog.

Veamos la representación de Zeckendorf de los números del 1 al 100:

Para ello, consideremos los números de la sucesión de Fibonacci menores que 100, tomando el 1 una sola vez.

\(1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89\)

¿Sabrías calcular la representación de Zeckendorf de los números del 1 al 100?

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