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El número de oro, número aúreo o proporción divina, representado por la letra griega \(\varphi\), en honor al escultor griego Fidias, se puede definir de muchas maneras, pero en este caso, vamos a usar la siguiente:
\(\varphi\) es la única solución positiva de la ecuación \(x^2-x-1=0\).
¿Sabes qué curiosa propiedad cumplen el número de oro \(\varphi\) y su inverso \(\displaystyle{\frac{1}{\varphi}}\)?
Pistas:
Solución:
Resolviendo la ecuación \(x^2-x-1=0\) se obtiene que \(\varphi=\displaystyle{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\).
\(\displaystyle{\frac{1}{\varphi}}=\displaystyle{\frac{2}{1+\sqrt{5}}}\)
Racionalizando: \(\displaystyle{\frac{1}{\varphi}}=\displaystyle{\frac{2}{1+\sqrt{5}}} \cdot \displaystyle{\frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}}= \cdots =\displaystyle{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\)
\(\displaystyle{\frac{1}{\varphi}}=\displaystyle{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\)
Restando: \(\varphi - \displaystyle{\frac{1}{\varphi}}=\displaystyle{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}-\displaystyle{\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)}= \cdots = 1 \in \mathbb{N}\)
Los números \(\varphi\) y \(\displaystyle{\frac{1}{\varphi}}\) son números irracionales (con infinitas cifras decimales no periódicas) que tienen exactamente la misma parte decimal.
\(\varphi=1.618033988749...\) y \(\displaystyle{\frac{1}{\varphi}}=0.618033988749...\)