¿Qué curiosa propiedad cumplen el número de Oro y su inverso?

El número de oro, número aúreo o proporción divina, representado por la letra griega $\varphi$, en honor al escultor griego Fidias, se puede definir de muchas maneras, pero en este caso, vamos a usar la siguiente:

$\varphi$ es la única solución positiva de la ecuación $x^2-x-1=0$.

¿Sabes qué curiosa propiedad cumplen el número de oro $\varphi$ y su inverso $\displaystyle{\frac{1}{\varphi}}$?

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Pistas:

• Calcula las soluciones de la ecuación $x^2-x-1=0$.
• De las dos soluciones de la ecuación, quédate con la solución positiva.
• ¿Qué tipo de número es el que has obtenido?
• ¿Cuántes cifras decimales tiene?
• $\displaystyle{\frac{1}{\varphi}}$ es el inverso del número $\varphi$. Calcúlalo.
• Racionaliza el número obtenido.
• ¿Qué tipo de número es $\displaystyle{\frac{1}{\varphi}}$?
• ¿Cuántes cifras decimales tiene?
• Resta a $\varphi$ su inverso $\displaystyle{\frac{1}{\varphi}}$. ¿Qué observas?
• ¿Qué tipo de número es el que has obtenido?
• En conclusión, ¿Qué podemos decir de $\varphi$ y de $\displaystyle{\frac{1}{\varphi}}$?

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Solución:

Resolviendo la ecuación $x^2-x-1=0$ se obtiene que $\varphi=\displaystyle{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$.

$\displaystyle{\frac{1}{\varphi}}=\displaystyle{\frac{2}{1+\sqrt{5}}}$

Racionalizando: $\displaystyle{\frac{1}{\varphi}}=\displaystyle{\frac{2}{1+\sqrt{5}}} \cdot \displaystyle{\frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}}= \cdots =\displaystyle{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$

$\displaystyle{\frac{1}{\varphi}}=\displaystyle{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$

Restando: $\varphi - \displaystyle{\frac{1}{\varphi}}=\displaystyle{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}-\displaystyle{\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)}= \cdots = 1 \in \mathbb{N}$

Los números $\varphi$ y $\displaystyle{\frac{1}{\varphi}}$ son números irracionales (con infinitas cifras decimales no periódicas) que tienen exactamente la misma parte decimal.

$\varphi=1.618033988749...$ y $\displaystyle{\frac{1}{\varphi}}=0.618033988749...$