SIN CALCULADORA EN LAS REDES SOCIALES (#1)

Maestro, ¿y esto para qué sirve? Esta es una pregunta recurrente en mis clases de MatemáTICas a diario. Si eres activo en redes sociales y te gustan los acertijos matemáticos, este post te será de gran ayuda.

A continuación te pondré algunos ejemplos de acertijos virales que andan por las redes sociales para los que saber operar con potencias, sacar factor común y conocer alguna de las identidades notables es fundamental para poder resolverlos rápidamente y sin calculadora. ¿Sabrás resolverlas? ¡Ánimo y al lío!

• $$\displaystyle{9^{20}+9^{20}+9^{20}}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{3^{41}}$

  
  

• $$\displaystyle{2^{100}-2^{99}}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{2^{99}}$

  
  

• $$\displaystyle{\frac{2023^{2}-1}{2022}}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{2024}$

  
  

• $$\displaystyle{\frac{2\cdot3^{12}-5\cdot3^{11}}{9^{5}}}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{3}$

  
  

• $$\displaystyle{\frac{3^{967}-3^{965}+16}{3^{965}+2}}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{8}$

  
  

• $$\displaystyle{\frac{7^{2m+1}+49^{m+1}}{49^{m+1}-7^{2m+1}}}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{\frac{4}{3}}$

  
  

• $$\displaystyle{\frac{5^{2024}+5^{2025}+5^{2026}}{5^{2024}}}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{31}$

  
  

• $$\hbox{La mitad de } \displaystyle{4^{4}}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{2^{7}}$

  
  

• $$\displaystyle{\frac{9!+8!}{7!}}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{80}$

  
  

• $$\begin{matrix} \displaystyle{\frac{p^{2}-4}{p-2}=5} \\ \hbox{Halla } \displaystyle{p} \end{matrix}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{p=3}$

  
  

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Pistas:

• Propiedad distributiva de la suma o resta respecto del producto:
• Propiedad distributiva: $a \cdot (b \pm c)=a \cdot b \pm a \cdot c \quad \acute{o} \quad (b \pm c) \cdot a=b \cdot a \pm c \cdot a$
• Sacar factor común: $a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b \pm c) \quad \acute{o} \quad b \cdot a \pm c \cdot a= (b \pm c) \cdot a$
• Identidades notables:
• Suma por diferencia: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
• Diferencia de cuadrados: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
• Propiedad de las potencias:
• Producto de potencias de la misma base: $a^{n} \cdot a^{m}=a^{n+m}$
• Cociente de potencias de la misma base: $\displaystyle{\frac{a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$
• Potencia de potencia: $(a^{n})^{m}=a^{n \cdot m}$
• $a^{1}=a$
• $a^{n} = a^{m} \Rightarrow n=m$
• Propiedades del factorial:
• Factorial de un número: $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1$
• $n! = n \cdot (n-1)!$

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Solución:

• En este caso extraemos factor común:

  $$\displaystyle{9^{20}+9^{20}+9^{20}}=\displaystyle{9^{20}\cdot(1+1+1)}=\displaystyle{9^{20}\cdot3}=$$ $$=\displaystyle{(3^{2})^{20}\cdot3}=\displaystyle{3^{2\cdot20}\cdot3^{1}}=\displaystyle{3^{40}\cdot3^{1}}=\displaystyle{3^{40+1}}=\displaystyle{3^{41}}$$

• En este caso extraemos factor común y aplicamos propiedades de las potencias:

  $$\displaystyle{2^{100}-2^{99}}=\displaystyle{2^{99}\cdot2^{1}-2^{99}}=\displaystyle{2^{99}\cdot(2^{1}-1)}=$$ $$=\displaystyle{2^{99}\cdot(2-1)}=\displaystyle{2^{99}\cdot1}=\displaystyle{2^{99}}$$

• En este caso aplicamos una identidad notable:

  $$\displaystyle{\frac{2023^{2}-1}{2022}}=\displaystyle{\frac{2023^{2}-1^{2}}{2022}}=\displaystyle{\frac{(2023+1)\cdot(2023-1)}{2022}}=\displaystyle{\frac{2024\cdot2022}{2022}}=\displaystyle{2024}$$

• En este caso extraemos factor común y aplicamos propiedades de las potencias:

  $$\displaystyle{\frac{2\cdot3^{12}-5\cdot3^{11}}{9^{5}}}=\displaystyle{\frac{2\cdot3^{1}\cdot3^{11}-5\cdot3^{11}}{(3^{2})^{5}}}=\displaystyle{\frac{6\cdot3^{11}-5\cdot3^{11}}{3^{2\cdot5}}}=$$ $$=\displaystyle{\frac{(6-5)\cdot3^{11}}{3^{10}}}=\displaystyle{\frac{1\cdot3^{11}}{3^{10}}}=\displaystyle{\frac{3^{11}}{3^{10}}}=\displaystyle{3^{11-10}}=\displaystyle{3^{1}}=\displaystyle{3}$$

• En este caso extraemos factor común y aplicamos propiedades de las potencias:

  $$\displaystyle{\frac{3^{967}-3^{965}+16}{3^{965}+2}}=\displaystyle{\frac{3^{965+2}-3^{965}+16}{3^{965}+2}}=\displaystyle{\frac{3^{965}\cdot3^{2}-3^{965}+16}{3^{965}+2}}=$$ $$=\displaystyle{\frac{3^{965}\cdot9-3^{965}+16}{3^{965}+2}}= \displaystyle{\frac{3^{965}\cdot(9-1)+16}{3^{965}+2}}=\displaystyle{\frac{3^{965}\cdot8+16}{3^{965}+2}}=$$ $$=\displaystyle{\frac{3^{965}\cdot8+2\cdot8}{3^{965}+2}}=\displaystyle{\frac{(3^{965}+2)\cdot8}{3^{965}+2}}=\displaystyle{8}$$

• En este caso extraemos factor común y aplicamos propiedades de las potencias:

  $$\displaystyle{\frac{7^{2m+1}+49^{m+1}}{49^{m+1}-7^{2m+1}}}=\displaystyle{\frac{7^{2m+1}+(7^2)^{m+1}}{(7^2)^{m+1}-7^{2m+1}}}=\displaystyle{\frac{7^{2m+1}+7^{2(m+1)}}{7^{2(m+1)}-7^{2m+1}}}=$$ $$=\displaystyle{\frac{7^{2m+1}+7^{2m+2}}{7^{2m+2}-7^{2m+1}}}=\displaystyle{\frac{7^{2m+1}+7^{(2m+1)+1}}{7^{(2m+1)+1}-7^{2m+1}}}=\displaystyle{\frac{7^{2m+1}+7^{(2m+1)}\cdot7^{1}}{7^{(2m+1)}\cdot7^{1}-7^{2m+1}}}=$$ $$=\displaystyle{\frac{7^{2m+1}+7^{(2m+1)}\cdot7}{7^{(2m+1)}\cdot7-7^{2m+1}}}=\displaystyle{\frac{7^{2m+1}\cdot(1+7)}{7^{2m+1}\cdot(7-1)}}=\displaystyle{\frac{8}{6}}=\displaystyle{\frac{4}{3}}$$

• En este caso extraemos factor común y aplicamos propiedades de las potencias:

  $$\displaystyle{\frac{5^{2024}+5^{2025}+5^{2026}}{5^{2024}}}=\displaystyle{\frac{5^{2024}+5^{2024+1}+5^{2024+2}}{5^{2024}}}=$$ $$=\displaystyle{\frac{5^{2024}+5^{2024} \cdot 5^{1}+5^{2024} \cdot 5^{2}}{5^{2024}}}=\displaystyle{\frac{5^{2024} \cdot (1+5^{1}+5^{2})}{5^{2024}}}=$$ $$=\displaystyle{1+5^{1}+5^{2}}=\displaystyle{1+5+25}=\displaystyle{31}$$

• En este caso aplicamos propiedades de las potencias:

  $$\displaystyle{\frac{4^{4}}{2}}=\displaystyle{\frac{(2^2)^{4}}{2}}=\displaystyle{\frac{2^{2 \cdot 4}}{2}}=\displaystyle{\frac{2^{8}}{2^1}}=\displaystyle{2^{8-1}}=\displaystyle{2^{7}}$$

• En este caso aplicamos propiedades del factorial, sacamos factor común y simplificamos:

  $$\displaystyle{\frac{9!+8!}{7!}}=\displaystyle{\frac{9 \cdot 8!+8!}{7!}}=\displaystyle{\frac{8! \cdot (9+1)}{7!}}=\displaystyle{\frac{8! \cdot 10}{7!}}=\displaystyle{\frac{8 \cdot 7! \cdot 10}{7!}}=\displaystyle{8 \cdot 10}=80$$

• En este caso aplicamos identidades notables y simplificamos:

  $$\displaystyle{\frac{p^{2}-4}{p-2}=5} \Rightarrow \displaystyle{\frac{(p+2)(p-2)}{p-2}=5} \Rightarrow \displaystyle{p+2=5} \Rightarrow \displaystyle{p=5-2} \Rightarrow \displaystyle{p=3}$$