Maestro, ¿y esto para qué sirve? Esta es una pregunta recurrente en mis
clases de MatemáTICas a diario. Si eres activo en redes sociales y te gustan
los acertijos matemáticos, este post te será de gran ayuda.
A continuación te pondré algunos ejemplos de acertijos virales que andan por
las redes sociales para los que saber operar con potencias,
sacar factor común y conocer alguna de las
identidades notables es fundamental para poder resolverlos
rápidamente y sin calculadora. ¿Sabrás resolverlas? ¡Ánimo y al lío!
Pistas:
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Propiedad distributiva de la suma o resta respecto del producto:
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Propiedad distributiva: a⋅(b±c)=a⋅b±a⋅c o (b±c)⋅a=b⋅a±c⋅a
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Sacar factor común: a⋅b±a⋅c=a⋅(b±c) o b⋅a±c⋅a=(b±c)⋅a
- Identidades notables:
- Suma por diferencia: (a+b)(a−b)=a2−b2
- Diferencia de cuadrados: a2−b2=(a+b)(a−b)
- Propiedad de las potencias:
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Producto de potencias de la misma base: an⋅am=an+m
-
Cociente de potencias de la misma base:
anam=an−m
- Potencia de potencia: (an)m=an⋅m
- a1=a
- an=am⇒n=m
- Propiedades del factorial:
-
Factorial de un número: n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋯2⋅1
- n!=n⋅(n−1)!
Solución:
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En este caso extraemos factor común:
920+920+920=920⋅(1+1+1)=920⋅3=
=(32)20⋅3=32⋅20⋅31=340⋅31=340+1=341
-
En este caso extraemos factor común y aplicamos propiedades de las
potencias:
2100−299=299⋅21−299=299⋅(21−1)=
=299⋅(2−1)=299⋅1=299
-
En este caso aplicamos una identidad notable:
20232−12022=20232−122022=(2023+1)⋅(2023−1)2022=2024⋅20222022=2024
-
En este caso extraemos factor común y aplicamos propiedades de las
potencias:
2⋅312−5⋅31195=2⋅31⋅311−5⋅311(32)5=6⋅311−5⋅31132⋅5=
=(6−5)⋅311310=1⋅311310=311310=311−10=31=3
-
En este caso extraemos factor común y aplicamos propiedades de las
potencias:
3967−3965+163965+2=3965+2−3965+163965+2=3965⋅32−3965+163965+2=
=3965⋅9−3965+163965+2=3965⋅(9−1)+163965+2=3965⋅8+163965+2=
=3965⋅8+2⋅83965+2=(3965+2)⋅83965+2=8
-
En este caso extraemos factor común y aplicamos propiedades de las
potencias:
72m+1+49m+149m+1−72m+1=72m+1+(72)m+1(72)m+1−72m+1=72m+1+72(m+1)72(m+1)−72m+1=
=72m+1+72m+272m+2−72m+1=72m+1+7(2m+1)+17(2m+1)+1−72m+1=72m+1+7(2m+1)⋅717(2m+1)⋅71−72m+1=
=72m+1+7(2m+1)⋅77(2m+1)⋅7−72m+1=72m+1⋅(1+7)72m+1⋅(7−1)=86=43
-
En este caso extraemos factor común y aplicamos propiedades de las
potencias:
52024+52025+5202652024=52024+52024+1+52024+252024=
=52024+52024⋅51+52024⋅5252024=52024⋅(1+51+52)52024=
=1+51+52=1+5+25=31
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En este caso aplicamos propiedades de las potencias:
442=(22)42=22⋅42=2821=28−1=27
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En este caso aplicamos propiedades del factorial, sacamos factor común y simplificamos:
9!+8!7!=9⋅8!+8!7!=8!⋅(9+1)7!=8!⋅107!=8⋅7!⋅107!=8⋅10=80
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En este caso aplicamos identidades notables y simplificamos:
p2−4p−2=5⇒(p+2)(p−2)p−2=5⇒p+2=5⇒p=5−2⇒p=3