2ºBACH CCSS MUESTREO E INFERENCIA ESTADÍSTICA (PROBLEMAS)

Muestreo e Inferencia Estadística

Problema (#1)

El gasto anual, en videojuegos, de los jóvenes de una ciudad sigue una ley Normal de media desconocida \(\mu\) y desviación típica \(18\) euros. Elegida, al azar, una muestra de \(144\) jóvenes se ha obtenido un gasto medio de \(120\) euros.

1. Indique la distribución de las medias de las muestras de tamaño \(144\).
2. Determine un intervalo de confianza, al \(99 \%\), para el gasto medio en videojuegos de los jóvenes de esa ciudad.
3. ¿Qué tamaño muestral mínimo deberíamos tomar para, con la misma confianza, obtener un error menor que \(1.9\)?

Solución:

Problema (#2)

1. Los valores \(\displaystyle{\left\{ 52, 61, 58, 49, 53, 60, 68, 50, 53 \right\}}\) constituyen una muestra de una variable aleatoria Normal, con desviación típica \(6\). Obtenga un intervalo de confianza para la media de la población, con un nivel de confianza del \(92 \%\).
2. Se desea estimar la media poblacional de otra variable aleatoria Normal, con varianza \(49\), mediante la media de una muestra aleatoria. Obtenga el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo de la estimación, con una confianza al \(97 \%\), sea menor o igual que \(2\).

Solución:

Problema (#3)

En una muestra aleatoria de \(1000\) personas de una ciudad, \(400\) votan a un determinado partido. Calcule un intervalo de confianza al \(96 \%\) para la proporción de votantes de ese partido en la ciudad.

Solución:

Problema (#4)

Se ha lanzado un dado \(400\) veces y se ha obtenido \(80\) veces el valor cinco. Estime, mediante un intervalo de confianza al \(95 \%\), el valor de la probabilidad de obtener un cinco.

Solución:

Problema (#5)

1. Sea la población \(\displaystyle{\left\{1, 5, 7\right\}}\). Escriba todas las muestras de tamaño \(2\), mediante muestreo aleatorio simple, y calcule la varianza de las medias muestrales.
2. De una población de \(300\) hombres y \(200\) mujeres se desea seleccionar, mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional, una muestra de tamaño \(30\) distribuida en los dos estratos, ¿cuál será la composición de la muestra?

Solución:

Problema (#6)

Se han tomado las tallas de 16 bebés, elegidos al azar, de entre los nacidos en un cierto hospital, y se han obtenido los siguientes resultados, en centímetros:

$$51, 50, 53, 48, 49, 50, 51, 48, 50, 51, 50, 47, 51, 51, 49, 51$$

La talla de los bebés sigue una ley Normal de desviación típica 2 centímetros y media desconocida.

1. ¿Cuál es la distribución de las medias de las muestras de tamaño \(16\)?
2. Determine un intervalo de confianza, al \(97 \%\), para la media poblacional.

Solución:

Problema (#7)

Un fabricante produce tabletas de chocolate cuyo peso en gramos sigue una ley Normal de media \(125\) g y desviación típica \(4\) g.

1. Si las tabletas se empaquetan en lotes de \(25\), ¿cuál es la probabilidad de que el peso medio de las tabletas de un lote se encuentre entre \(124\) y \(126\) gramos?
2. Si los lotes fuesen de \(64\) tabletas, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso medio de las tabletas del lote superase los \(124\) gramos?

Solución:

Problema (#8)

Una variable aleatoria sigue una ley Normal con media desconocida y desviación típica \(2.4\). Se quiere estimar la media poblacional, con un nivel de confianza del \(93 \%\), para lo que se toman dos muestras de distintos tamaños.

1. Si una de las muestras tiene tamaño \(16\) y su media es \(10.3\), ¿cuál es el intervalo de confianza correspondiente?
2. Si con la otra muestra el intervalo de confianza es \(\displaystyle{\left(9.776,11.224\right)}\), ¿cuál es la media muestral? ¿Cuál es el tamaño de la muestra?

Solución:

Problema (#9)

De \(500\) encuestados en una población, \(350\) se mostraron favorables a la retransmisión de debates televisivos en tiempos de elecciones. Calcule un intervalo de confianza, al \(99.5 \%\), para la proporción de personas favorables a estas retransmisiones.

Solución:

Problema (#10)

Se desea estimar la proporción de individuos zurdos en una determinada ciudad. Para ello se toma una muestra aleatoria de \(300\) individuos resultando que \(45\) de ellos son zurdos.

1. Calcule, usando un nivel de confianza del \(97 \%\), el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de individuos zurdos de la población.
2. ¿Sería mayor o menor el error de estimación si se usara un nivel de confianza del \(95 \%\)?

Solución:

Problema (#11)

Una variable aleatoria sigue una ley Normal con desviación típica \(6\). ¿De qué tamaño, como mínimo, se debe elegir una muestra que nos permita estimar la media de esa variable con un error máximo de \(2\) y una confianza del \(99 \%\)?

Solución:

Problema (#12)

La longitud de los cables de los auriculares que fabrica una empresa es una variable aleatoria que sigue una ley Normal con desviación típica \(4.5\) cm. Para estimar la longitud media se han medido los cables de una muestra aleatoria de \(9\) auriculares y se han obtenido las siguientes longitudes, en cm:

$$205, 198, 202, 204, 197, 195, 196, 201, 202.$$

1. Halle un intervalo de confianza, al \(97 \%\), para la longitud media de los cables.
2. Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra de estos auriculares para que el error de estimación de la longitud media sea inferior a \(1\) cm, con el mismo nivel de confianza.

Solución:

Problema (#13)

Se ha aplicado un medicamento a una muestra de \(200\) enfermos y se ha observado una respuesta positiva en \(140\) de ellos. Estímese, mediante un intervalo de confianza del \(99 \%\), la proporción de enfermos que responderían positivamente si este medicamento se aplicase a la población de la que se ha extraído la muestra.

Solución:

Problema (#14)

El número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una ley Normal de media \(\mu\) días y desviación típica \(3\) días.

1. Determine un intervalo de confianza para estimar \(\mu\), a un nivel del \(97 \%\), con una muestra aleatoria de \(100\) enfermos cuya media es \(8.1\) días.
2. ¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra para poder estimar \(\mu\) con un error máximo de \(1\) día y un nivel de confianza del \(92 \%\)?

Solución:

Problema (#15)

Sea la población \(\displaystyle{\left\{1, 2, 3, 4\right\}}\).

1. Construya todas las muestras posibles de tamaño \(2\), mediante muestreo aleatorio simple.
2. Calcule la varianza de las medias muestrales.

Solución:

Problema (#16)

Tomada al azar una muestra de \(90\) alumnos de un Instituto se encontró que un tercio habla inglés. Halle, con un nivel de confianza del \(97 \%\), un intervalo de confianza para estimar la proporción de alumnos de ese Instituto que habla inglés.

Solución:

Problema (#17)

El peso, en kg, de los alumnos de primaria de un colegio sigue una distribución Normal de media \(28\) kg y desviación típica \(2.7\) kg. Consideremos muestras aleatorias de \(9\) alumnos.

1. ¿Qué distribución sigue la media de las muestras?
2. Si elegimos, al azar, una de esas muestras, ¿cuál es la probabilidad de que su media esté comprendida entre \(26\) y \(29\) kg?

Solución:

Problema (#18)

En un centro de anillamiento de aves se ha detectado que en una muestra de \(250\) ejemplares de una especie, \(60\) son portadoras de una bacteria. Obtenga un intervalo de confianza, al \(97 \%\), para la proporción de aves de esa especie que son portadoras de la bacteria.

Solución:

Problema (#19)

En una muestra representativa de \(1200\) residentes de una ciudad, \(450\) utilizan habitualmente el transporte público. Obtenga el intervalo de confianza, al \(90 \%\), de la proporción de residentes en la ciudad que utilizan habitualmente el transporte público.

Solución:

Problema (#20)

El consumo, en gramos, de un cierto producto sigue una ley Normal con varianza \(225\) g.

1. A partir de una muestra de tamaño \(25\) se ha obtenido una media muestral igual a \(175\) g. Halle un intervalo de confianza, al \(90 \%\), para la media del consumo.
2. ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el correspondiente intervalo de confianza, al \(95 \%\), tenga una amplitud máxima de \(5\)?

Solución:

Problema (#21)

El tiempo de utilización diaria de ordenador entre los empleados de una empresa sigue una distribución Normal de media \(\mu\) y desviación típica \(1.2\) horas.

1. Una muestra aleatoria de \(40\) empleados tiene una media del tiempo de utilización de \(2.85\) horas diarias. Determine un intervalo de confianza, al \(96 \%\), para la media del tiempo de utilización diaria de ordenador.
2. Calcule el tamaño mínimo que debería tener una muestra para estimar la media del tiempo de utilización diaria del ordenador con un error no superior a \(0.75\) horas y el mismo nivel de confianza del apartado anterior.

Solución:

Problema (#22)

Una máquina está preparada para fabricar piezas de, a lo sumo, \(10\) cm de longitud. Se toma una muestra de \(1000\) piezas, comprobándose que la media sus longitudes es de \(10.0037\) cm. La longitud de las piezas fabricadas por esa máquina sigue una ley Normal con desviación típica \(0.2\) cm.

1. Plantee un contraste de hipótesis unilateral para comprobar si con los datos de esa muestra es posible afirmar que la media de la longitud de las piezas fabricadas por la máquina es de más de \(10\) cm.
2. Determine la región de aceptación de la hipótesis nula de ese contraste para un nivel de significación \(\alpha = 0.025\).
3. Con los datos de la muestra y usando el contraste de hipótesis del primer apartado, ¿qué conclusión se obtendría sobre la longitud media de las piezas fabricadas?

Solución:

Problema (#23)

1. Una población de tamaño \(1000\) se ha dividido en \(4\) estratos de tamaño \(150, 400, 250\) y \(200\). Utilizando muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado \(10\) individuos del tercer estrato, ¿cuál es el tamaño de la muestra?
2. El peso de los individuos de una población se distribuye según una ley Normal de desviación típica \(6\) kg. Calcule el tamaño mínimo de la muestra para estimar, con un nivel de confianza del \(95 \%\), el peso medio en la población con un error no superior a \(1\) kg.

Solución:

Problema (#24)

El director de una televisión afirma que un nuevo programa que va a emitirse será visto, al menos, por un \(30 \%\) de personas. Una vez emitido se realizó una encuesta a \(500\) personas, elegidas al azar, y ésta reveló que \(130\) de ellas habían visto ese programa.

1. Formule la hipótesis nula y la alternativa del contraste de hipótesis que permite determinar si los datos de la encuesta realizada son compatibles con la afirmación del director.
2. Halle la región crítica de ese contraste para un nivel de significación del \(5.5 \%\).
3. Según el dato obtenido en el apartado anterior ¿qué conclusión se obtiene sobre la afirmación realizada por el director de esa televisión?

Solución:

Problema (#25)

El peso neto de las tabletas de chocolate de una determinada marca es una variable aleatoria Normal con media \(\mu\) y desviación típica \(7\) gramos. Se sabe que \(36\) tabletas, elegidas al azar, han dado un peso total de \(5274\) gramos.

1. Calcule un intervalo con un nivel de confianza del \(94 \%\) para la media \(\mu\).
2. Con el mismo nivel de confianza, ¿cuántas tabletas, como mínimo, habrá que tomar como muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, de \(3\) gramos?

Solución:

Problema (#26)

El director de un banco afirma que la cantidad media de dinero extraído, por cliente, de un cajero automático de su sucursal no supera los \(120\) euros. Para contrastar esta hipótesis elige al azar \(100\) extracciones de este cajero y obtiene una media muestral de \(130\) euros. Se sabe que la cantidad de dinero extraído por un cliente en un cajero automático se distribuye según una ley Normal de media desconocida y desviación típica \(67\) euros.

1. Plantee el contraste de hipótesis asociado al enunciado.
2. Determine la región de aceptación, para un nivel de significación \(\alpha=0.05\).
3. Con los datos muestrales tomados, ¿existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis de este director, con el mismo nivel de significación anterior?

Solución:

Problema (#27)

La estatura de las personas de una población es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal cuya desviación típica es de \(0.04\) m. Para estimar la media de esta variable se ha tomado una muestra aleatoria de \(60\) personas de esa población y se ha encontrado una estatura media de \(1.73\) m.

1. Obtenga un intervalo de confianza, con un nivel del \(97 \%\), para la media de la distribución de estaturas.
2. Halle el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esta población, para que la amplitud de un intervalo de la media con este nivel de confianza sea inferior a \(0.08\) m.

Solución:

Problema (#28)

Suponiendo que la variable “años de vida de los individuos de un país” sigue una distribución Normal con desviación típica \(8.9\) años, se desea contrastar la hipótesis de que la vida media de los mismos no supera los \(70\) años. A partir de una muestra aleatoria de \(100\) individuos se ha obtenido que su vida media ha sido \(71.8\) años.

1. Formule el contraste de hipótesis que indica el enunciado.
2. Determine la región crítica a un nivel de significación del \(5 \%\).
3. Con los datos muestrales, ¿existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis a ese nivel de significación?

Solución:

Problema (#29)

Sea X una variable aleatoria Normal de media \(50\) y desviación típica \(4\). Se toman muestras de tamaño \(16\).

1. ¿Cuál es la distribución de la media muestral?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre \(47.5\) y \(52.5\)?

Solución:

Problema (#30)

En un distrito universitario, la calificación de los alumnos sigue una distribución Normal de media \(6.2\) puntos y desviación típica de \(1\) punto. Se seleccionó, aleatoriamente, una muestra de tamaño \(25\).

1. Indique la distribución de la media de las muestras de tamaño \(25\).
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de las calificaciones de los alumnos de una de esas muestras esté comprendida entre \(6\) y \(6.6\) puntos?

Solución:

Problema (#31)

Un estudio sociológico afirma que el \(70 \%\) de las familias cena viendo la televisión. Se desea contrastar la veracidad de esta afirmación y, para ello, se toma una muestra de \(500\) familias, en la que se observa que \(340\) ven la televisión mientras cenan. Decida, mediante un contraste de hipótesis, si la afirmación es cierta con un nivel de significación de \(0.01\).

Solución:

Problema (#32)

El peso de los adultos de una determinada población sigue una distribución Normal de media \(70\) kg y desviación típica \(16\) kg. Si elegimos, al azar, muestras de tamaño \(4\):

1. ¿Cuál es la distribución de la media muestral?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de una de esas muestras esté comprendido entre \(65\) y \(72\) kg?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que ese peso medio sea menor que \(70\) kg?

Solución:

Problema (#33)

Con el fin de estudiar el peso medio de los perros recién nacidos de una determinada raza, se tomó una muestra en una clínica veterinaria y se obtuvieron los siguientes pesos, medidos en kg:

$$1.2, 0.9, 1, 1.2, 1.1, 1 , 0.8, 1.1$$

Se sabe que el peso de los cachorros de esta raza se distribuye según una ley Normal con desviación típica \(0.25\) kg.

1. Obtenga un intervalo de confianza para estimar la media poblacional, al \(95 \%\).
2. Halle el error máximo que se cometería usando el intervalo anterior.
3. Razone cómo variaría la amplitud del intervalo de confianza si, manteniendo el mismo nivel de confianza, aumentásemos el tamaño de la muestra.

Solución: