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NO ME TOQUES LOS HUEVOS (#74): Una anciana llevaba huevos al mercado cuando se le cayó la cesta. No sabía la cantidad exacta de huevos que llevaba, pero recordaba que al contarlos en grupos de 2, 3, 4 y 5, le sobraban 1, 2, 3 y 4 huevos, respectivamente. ¿Cuántos huevos llevaba en su cesta?, ¿cuántos soluciones distintas has encontrado?.
Pistas:
Solución:
Supongamos que la anciana llevaba \(N\) huevos.
Si al contarlos en grupos de 2, 3, 4 y 5, le sobraban 1, 2, 3 y 4 huevos, respectivamente, significa que si hubiesemos tenido en la cesta un huevo más, no sobraría ninguno:
Observamos que en todos los casos el resto es una unidad menor que el divisor. Por tanto, al sumar 1 al número de huevos \(N\) obtenemos un número, \(N+1\), divisible entre 2, 3, 4 y 5 a la vez.
Por tanto, \(N+1\) debe ser un múltiplo del mínimo común múltiplo de 2, 3, 4 y 5.
$$ \operatorname{m.c.m.}(2,3,4,5)=60.$$\(N+1=60 \cdot k\), donde \(k\) es un número entero positivo.
Despejando \(N\): $$N=60 \cdot k-1.$$
La menor solución positiva se obtiene tomando \(k=1\): $$N=60 \cdot 1-1=59.$$
Por tanto, la anciana llevaba en la cesta 59 huevos.
Comprobación:
$$\begin{aligned} 59 & =2\cdot29+1,\\ 59 & =3\cdot19+2,\\ 59 & =4\cdot14+3,\\ 59 & =5\cdot11+4. \end{aligned} $$En general, todas las cantidades de la forma \(N=60 \cdot k-1,\quad k \in \mathbb{N}\) cumplen las condiciones del problema.
En matemáticas, usamos la función módulo para representar el resto de la división entera de un número entre otro. $$N \equiv q \pmod{p} \Leftrightarrow resto \ (N:p)=q$$
De este modo, nuestro problema usando esa notación quedaría del siguiente modo:
$$\begin{aligned} N & \equiv 1 \pmod{2},\\ N & \equiv 2 \pmod{3},\\ N & \equiv 3 \pmod{4},\\ N & \equiv 4 \pmod{5}. \end{aligned} $$O de forma equivalente:
$$N+1\equiv 0 \pmod{2},\qquad N+1\equiv 0 \pmod{3},\qquad N+1\equiv 0 \pmod{4},\qquad N+1\equiv 0 \pmod{5}.$$