EL MISTERIO DE LOS ESCALONES GRISES (#79)

EL MISTERIO DE LOS ESCALONES GRISES (#79): Sabiendo que los escalones son cuadrados, que el primero de ellos tiene una longitud de 1 unidad y que cada escalón es una unidad mayor que el anterior, calcula el área de la parte de la escalera sombreada. ¿Sabrías hacerlo?

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Pistas:

• No es mala opción sumar números consecutivos y cuadrados de números consecutivos.
• La suma de los n primeros números consecutivos es igual a $$S_{n}=1+2+3+ \cdots +(n-2)+(n-1)+n=\displaystyle{\frac{n \cdot (n+1)}{2}}$$
• La suma de los cuadrados de los n primeros números consecutivos es igual a $$S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+ \cdots +(n-2)^{2}+(n-1)^{2}+n^{2}=\displaystyle{\frac{n \cdot (n+1) \cdot (2n+1)}{6}}$$
• Ya solo queda calcular algunas áreas de figuras planas sencillas.

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Solución:

Por un lado calculamos la suma de las áreas de los cuadrados:

$$Área(cuadrados)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=1+4+9+16+25+36=91 \quad u^{2}$$

Por otro lado calculamos el área del triángulo:

$$Base=1+2+3+4+5+6= 21 \quad u$$ $$Altura=6 \quad u$$ $$Área(triángulo)=\displaystyle{\frac{Base \times Altura}{2}}=\displaystyle{\frac{21 \times 6}{2}}=42 \quad u^{2}$$

Por último, el área de la parte de la escalera sombreada será la diferencia de ambas áreas:

$$Área(sombreada)=91-42=49 \quad u^{2}$$