NI POR TIERRA NI POR AIRE (#80)
NI POR TIERRA NI POR AIRE (#80):
En el corazón del parque de Parque Nacional de Doñana, cinco animales muy
conocidos decidieron hacerse una foto para recordar un precioso atardecer
junto a las marismas. El lince ibérico, el zorro rojo, el águila imperial,
el conejo europeo y el búho real se colocaron en fila para posar delante
de la cámara. Sin embargo, el conejo estaba un poco nervioso y pidió no
colocarse al lado del lince ni del zorro.
¿De cuántas formas diferentes pueden colocarse en fila si el conejo no
puede estar al lado del lince ni del zorro?
Pistas:
- No cuentes a lo loco y busca una buena estrategia.
-
El principio de la multiplicación o regla del producto, es una
técnica de conteo utilizada en combinatoria para determinar el
número total de resultados posibles cuando un evento se compone de
varias etapas sucesivas. El principio de la multiplicación dice que si
una tarea se puede realizar de m maneras y otra tarea de
n maneras, el número total de formas de realizar ambas tareas es
m × n.
Solución:
Para hallar la solución, colocamos al conejo en cada una de las posiciones
que puede tomar y marcamos con X las posiciones en las que no puede
estar el lince.
A continuación, analizaremos cada uno de los casos. Sin embargo, debido a
la simetría del problema, solo es necesario estudiar dos casos distintos,
ya que el resto de casos son equivalentes entre sí.
- El conejo tiene un único vecino: Casos 1 y 5.
En los casos en los que el conejo tiene un único vecino, el lince tiene
3 posibles lugares en el que colocarse. De este modo, al zorro tiene
solamente dos posibles lugares para colocarse. El águila tiene dos
posibles lugares para colocarse, junto al conejo o en la posición que
quede libre de las otras tres. Por último, al buho le queda un único
lugar para colocarse. De este modo y aplicando el
principio de la multiplicación, en este caso tendremos \(3 \cdot
2 \cdot 2 \cdot 1=12\) posibilidades distintas.
- El conejo tiene dos vecinos: Casos 2, 3 y 4.
En los casos en los que el conejo tiene dos vecinos, el lince tiene 2
posibles lugares en las que colocarse. De este modo, al zorro tiene
solamente un lugar para colocarse. El águila tiene dos posibles lugares
para colocarse, una a cada lado del conejo. Por último, al buho le queda
un único lugar para colocarse. De este modo y aplicando el
principio de la multiplicación, en este caso tendremos \(2 \cdot
1 \cdot 2 \cdot 1=4\) posibilidades distintas.
Caso 1:
12 posibilidades distintas.
Caso 2:
4 posibilidades distintas.
Caso 3:
4 posibilidades distintas.
Caso 4:
4 posibilidades distintas.
Caso 5:
12 posibilidades distintas.
En total tendremos \(2 \cdot 12 + 3 \cdot 4 = 24 + 12 = 36\) posibilidades
distintas.