CONTANDO CUADRADOS (#58)

CONTANDO CUADRADOS: Como cada año, en mi instituto, el I.E.S. Delgado Hernández, celebramos el Torneo Interescolar de Ajedrez en el que participan casi 200 alumnos y alumnas de unos 30 centros de Primaria, Secundaria y Bachillerato de las provincias de Huelva y Sevilla. Yo colaboro de forma activa en el evento y entre partida y partida, mirando el tablero de ajedrez me he estado planteando una cuestión. ¿Cuántos cuadrados hay en un tablero de ajedrez? ¿Podrías generalizar el problema a un cuadrado cualquiera de $n$ cuadrados de lado? No desesperes y al lío.

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Pistas:

• Cuenta con orden y busca una buena estrategia para contar.
• No es mala idea comenzar por el más pequeño y terminar por el más grande.

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Solución:

$$\left\{\begin{matrix} 1 \quad cuadrado \quad 1x1 \end{matrix}\right.$$

$$1^2=1 \quad cuadrado.$$

$$\left\{\begin{matrix} 1 \quad cuadrado \quad 2x2\\ 4 \quad cuadrados \quad 1x1 \end{matrix}\right.$$

$$1^2+2^2=1+4=5 \quad cuadrados.$$

$$\left\{\begin{matrix} 1 \quad cuadrado \quad 3x3\\ 4 \quad cuadrados \quad 2x2\\ 9 \quad cuadrados \quad 1x1 \end{matrix}\right.$$

$$1^2+2^2+3^2=1+4+9=14 \quad cuadrados.$$

En un tablero de ajedrez

$$\left\{\begin{matrix} 1 \quad cuadrado \quad 8x8\\ 4 \quad cuadrados \quad 7x7\\ 9 \quad cuadrados \quad 6x6\\ 16 \quad cuadrados \quad 5x5\\ 25 \quad cuadrados \quad 4x4\\ 36 \quad cuadrados \quad 3x3\\ 49 \quad cuadrados \quad 2x2\\ 64 \quad cuadrados \quad 1x1 \end{matrix}\right.$$

$$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2=$$

$$=1+4+9+16+25+36+49+64=$$

$$=204 \quad cuadrados.$$

En general, en un cuadrado $n$ x $n$ de $n$ cuadrados de lado:

$$1^2+2^2+3^2+4^2 \cdots + n^2 \quad cuadrados.$$