¿Cómo son los números complejos que sumados con sus inversos dan como resultado la unidad real?

Para encontrar los números complejos que, sumados con sus inversos, den como resultado la unidad real, partimos de la ecuación general.

Si $z = a + bi$, donde $a, b \in \mathbb{R}$ es un número complejo, su inverso es $\displaystyle{\frac{1}{z}} = \displaystyle{\frac{1}{a+bi}}.$

Multiplicando por el conjugado del denominador:

$$\displaystyle{\frac{1}{z}} = \displaystyle{\frac{1}{a+bi}} \cdot \displaystyle{\frac{a-bi}{a-bi}} = \displaystyle{\frac{a - bi}{a^2 + b^2}}$$

Queremos que:

$$z + \displaystyle{\frac{1}{z}} = 1$$

Sustituyendo la forma de $z$ y su inverso $\displaystyle{\frac{1}{z}}$:

$$(a + bi) + \displaystyle{\frac{a - bi}{a^2 + b^2}} = 1$$

Separando la parte real e imaginaria:

$$\left( a + \displaystyle{\frac{a}{a^2 + b^2}} \right) + \left( b - \displaystyle{\frac{b}{a^2 + b^2}} \right)i = 1$$

Como la parte imaginaria debe ser cero (porque 1 $\in \mathbb{R}$), tenemos:

$$b - \displaystyle{\frac{b}{a^2 + b^2}} = 0$$

Sacando factor común $b$ deducimos que:

$$b \left( 1 - \displaystyle{\frac{1}{a^2 + b^2}} \right) = 0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=0 \\ \acute{o} \\ 1 - \displaystyle{\frac{1}{a^2 + b^2}} = 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=0 \\ \acute{o} \\ 1 - \displaystyle{\frac{1}{a^2 + b^2}} = 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=0 \\ \acute{o} \\ a^2 + b^2 = 1 \end{matrix}\right.$$

• Si $b = 0\ \Rightarrow z = a \neq 0, a \in \mathbb{R}$

$$z + \displaystyle{\frac{1}{z}} = 1 \Rightarrow a + \displaystyle{\frac{1}{a}} = 1 \Rightarrow a^2-a+1=0$$

Al resolver la ecuación, obtenemos soluciones complejas para $a$, por lo que este caso no aporta soluciones al problema.

• Si $b \neq 0 \Rightarrow a^2 + b^2 = 1$

$$a + \displaystyle{\frac{a}{a^2 + b^2}} = 1 \Rightarrow a + a = 1 \Rightarrow 2a = 1 \Rightarrow a = \displaystyle{\frac{1}{2}}$$ $$b^2 = 1 - a^2 = \displaystyle{\frac{3}{4}} \Rightarrow b = \pm \displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

En resumen, los números complejos que cumplen la condición son:

$$z = \displaystyle{\frac{1}{2}} + \displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}i \quad \text{o} \quad z = \displaystyle{\frac{1}{2}} - \displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}i$$