La lúnula de Hipócrates
Cuenta la leyenda que un orfebre hindú, una noche estrellada con luna
en cuarto creciente, despertó de una pesadilla en la que soñaba como su
negocio de orfebrería se iba a la ruina. Quedó tan traumatizado por aquel
sueño, que a partir de ese momento su única obsesión era la de tallar una joya
que fuera tan bella que todo aquel que la viera no pudiera resistirse a
comprarla. Se levantó de la cama sobresaltado y sin esperar a que se hiciese
de día, comenzó a modelar una joya sencilla pero cautivadora.
Su inspiración llegó del cielo, ya que su creación tenía forma de luna.
Tal era su obsesión, que todas las joyas que tallaba eran semejantes,
perfectas, iguales en forma, aunque no en tamaño.
Su negocio fue en auge y poco a poco la demanda de sus preciosas joyas hizo
que tuviera que contratar orfebres que no eran de confianza para que
continuaran haciendo a destajo los encargos que él no podía atender. Pasaba
las noches pensando y pensando en la manera de no ser engañado por sus
empleados y una noche tuvo una revelación de su Dios Brahman:
"Me honras con tus tallas, lunas de medianoche. Te daré la receta para que
nada falte ni tampoco sobre. De un triángulo rectángulo obtendrás la pieza
perfecta. Dos lados iguales deben ser. Con centro donde se halle el ángulo
recto un cuarto de círculo trazarás. El centro del semicirculo que la
hipotenusa abarcará, en la propia hipotenusa lo encontrarás, siendo su punto
medio donde lo debes colocar".
No se sabe cómo ni por qué, pero lo cierto es que el orfebre hindú realizaba
los moldes según la revelación divina y nunca le faltó un gramo de plata en
sus joyas, por lo que su negocio siguió proliferando. Y colorín colorado, esta
leyenda se ha acabado...
Fue en la Antigua Grecia el matemático, geómetra y astrónomo
Hipócrates de Quíos (470 a.C-410 a. C.), quién demostró aquella
revelación que el orfebre hindú tuvo. Lo que demostró Hipócrates exactamente
fue que
"el área de la lúnula es exactamente la misma que la del triángulo
rectángulo isósceles del que se obtiene".
A continuación reproduciremos su demostración tanto algebraica como
geométricamente:
Consideremos un triángulo rectángulo isósceles de lado no desigual
x.
El valor de su hipotenusa lo obtenemos mediante el
Teorema de Pitágoras:
\(x^2 + x^2 = a^2 \Rightarrow 2x^2 = a^2 \Rightarrow\)
\(\Rightarrow a = \displaystyle{\sqrt{2x^2}} \Rightarrow a =
\displaystyle{\sqrt{2}x}\)
Trazamos el círculo \(C_{1}\) de centro el vértice en el que se
encuentra el ángulo recto y con radio igual al lado no desigual del triángulo.
\(A_{C_{1}} = \pi x^2\)
Trazamos el círculo \(C_{2}\) de
centro el punto medio de la hipotenusa y radio igual a la mitad de la
hipotenusa del triángulo.
\(A_{C_{2}} = \pi \left( \displaystyle{\frac{\sqrt{2}x}{2}} \right)^2 =
\displaystyle{\frac{\pi x^2}{2}}\)
El área del triángulo rectángulo isósceles es igual a:
\(A_{T} = \displaystyle{\frac{x \cdot x}{2}} =
\displaystyle{\frac{x^2}{2}}\)
Se observa que el área de la Lúnula de Hipócrates es igual a:
\(A_{L} = \displaystyle{\frac{A_{C_2}}{2}} + A_{T} -
\displaystyle{\frac{A_{C_1}}{4}}\)
siendo
\(\displaystyle{\frac{A_{C_1}}{4}} = \displaystyle{\frac{\pi
x^2}{4}}\) y \(\displaystyle{\frac{A_{C_2}}{2}} = \displaystyle{\frac{\pi
x^2}{4}}\)
Así que, sustituyendo y simplificando:
\(A_{L} = \displaystyle{\frac{\pi x^2}{4}} +
\displaystyle{\frac{x^2}{2}} - \displaystyle{\frac{\pi x^2}{4}} =
\displaystyle{\frac{x^2}{2}}\)
Por tanto, ambas áreas coinciden, como queríamos demostrar.
Mediante este enlace a un applet del programa de geometría dinámica
GeoGebra, puedes ver una demostración animada. Para ello, clica en la imagen que se
encuentra justo encima de estas líneas.
Para saber más puedes seguir el enlace a
Hipócrates de Quíos
en Wikipedia.