El ejercicio complicado
Las Matemáticas aparecen por cualquier rincón. En el sitio más inesperado
aflora algún numerito que despierta en nosotros la curiosidad. En esta
entrada vengo a hablaros de un cuadro. La pieza de arte se titula “Aritmética mental en la escuela pública de Rachinsky”, un óleo sobre lienzo de la colección privada del pintor y pedagogo ruso
Nikolai Bogdanov-Belsky
(1868-1945), que data de 1896. Este cuadro es conocido vulgarmente como "Ejercicio complicado" o "Contando de cabeza". En este cuadro se pone de manifiesto una
vez más las curiosas propiedades de los números naturales.
Esa suma de cuadrados y esa división por la cuenta de la vieja se pueden
convertir en una tortura para mis alumnos de primer ciclo de la E.S.O., pero
sin duda el autor del cuadro conocía las propiedades que dichos números
encierran. Calculadora en mano, esa operación en principio tediosa resulta
ser:
\(\displaystyle{\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365}}\)
¿Pero podremos obtener dicho resultado de otra manera? Sí, si se conocen
ciertas propiedades de los números naturales.
Observa que:
\(10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365\)
y que:
\(13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365\)
Por tanto,
\(\displaystyle{\frac{365 + 365}{365}} = \displaystyle{\frac{2 \cdot 365}{365}} = 2\)
Los números 10, 11, 12, 13 y 14, números
naturales y consecutivos, cumplen la siguiente propiedad:
\(10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2 \)
Pero,
¿forman dichos números la única serie de 5 números enteros consecutivos
en los que la suma de los cuadrados de los tres primeros coincide con
la suma de los cuadrados de los dos restantes?
Una vez más el Álgebra nos proporciona la solución:
Llamado x al primero de los números que queremos calcular, los
restantes números, al ser consecutivos serán una unidad mayor (o menor) que
el anterior, por tanto: x+1, x+2, x+3 y
x+4.
La igualdad que deben cumplir es la siguiente:
\(x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 = (x+3)^2 + (x+4)^2 \)
Desarrollando cuadrados y simplificando, obtenemos una ecuación de 2º grado
con una incógnita, que al resolverla, nos proporcionará el menor de los 5
números consecutivos buscados:
\(x^2 + x^2 + 2x + 1 + x^2 + 4x + 4 = x^2 + 6x + 9 + x^2 + 8x + 16\)
\(3x^2 + 6x + 5 = 2x^2 + 14x + 25\)
\(x^2 - 8x - 20 = 0\)
\((x+2)(x-10) = 0\)
\((x+2)(x-10) = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} x = -2\\ \vee\\ x = 10 \end{array}\right.\)
Por tanto, no existe una única serie de 5 números enteros consecutivos que
cumplen dicha igualdad algebraica, sino dos:
Si hubiéramos tomado números consecutivos menores que x,
al ser consecutivos, serán cada vez una unidad menor que el
anterior, por
tanto: x-1, x-2, x-3 y x-4.
La igualdad que deben cumplir ahora es la siguiente:
Desarrollando cuadrados y simplificando, obtenemos una ecuación de
2º grado con una incógnita, que al resolverla, nos proporcionará el
mayor de los 5 números consecutivos buscados:
\(x^2 - 8x + 16 + x^2 - 6x + 9 + x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2x + 1 + x^2\)
\(3x^2 - 18x + 29 = 2x^2 - 2x + 1\)
\(x^2 - 16x + 28 = 0\)
\((x-2)(x-14) = 0\)
\((x-2)(x-14) = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} x = 2\\ \vee\\ x = 14 \end{array}\right.\)
Y por tanto, volvemos a obtener de nuevo los mismos números, aunque a partir de ecuaciones distintas: