LA VIDRIERA DEL ZALEMO (#91)
LA VIDRIERA DEL ZALEMO (#91):
El Zalemo en sus vacaciones estivales visitó la catedral de León y quedó
impresionado con sus vidrieras. Los colores, las formas geométricas y la
manera en que la luz atravesaba los cristales le parecieron mágicos. De
regreso a casa, decidió diseñar su propia vidriera inspirándose en ellas.
Dibujó un rectángulo y, en su interior, colocó dos circunferencias que
encajaban perfectamente. Encargó al cristalero el marco para luego colocar
los cristales, pero olvidó anotar una de las medidas. El cristalero le
dijo que no importaba porque con los datos que le había proporcionado
sería capaz de averiguar el que faltaba.
¿Serías capaz de hacerlo tú?
Pistas:
-
No puedes utilizar una regla para medir la figura. Tendrás que encontrar
la respuesta utilizando únicamente los datos y las propiedades
geométricas que aparecen en ella.
-
Las dos circunferencias son tangentes entre sí y tangentes a los lados
del rectángulo.
-
Cuando dos circunferencias son tangentes, sus centros y el punto de
tangencia están alineados.
- Busca un triángulo rectángulo y aplica el teorema de Pitágoras.
Solución:
Este primer caso es bastante sencillo. Trazando una línea paralelo al lado
mayor del rectángulo por el punto F, obtenemos dos triángulos rectángulos
iguales, uno a la derecha y otro a la iuzquierda del punto F. De la
igualdad de esos triángulos se decucen sus ángulos interiores:
\(a+90º+a=180º \Rightarrow 2a=180º-90º \Rightarrow 2a=90º \Rightarrow
a=45º\)
Si nos fijamos ahora en el triángulo de la derecha del punto F (igual que
el de la izquierda), se deduce que el ángulo que nos falta por conocer
también vale 45º, ya que en un triángulo, la suma de sus ángulos
interiores es 180º.
\(45º+90º+b=180º \Rightarrow b=180º-90º-45º \Rightarrow b=45º\)
Como en un triángulo, a ángulos iguales se openen lados iguales, se deduce
que el triángulo es rectángulo e isósceles (dos de sus lados son iguales).
Precisamente, la medida de los lados iguales del triángulo isósceles es la
altura del triángulo sombreado. Para calcular su área basta con averiguar
la medida de su base \(4 \ cm + 4 \ cm = 8 \ cm\) y aplicar la fórmula del
área del triángulo.
\(Área \ (sombreada)=Área \ (triángulo)=\displaystyle{\frac{base \cdot
altura}{2}}=\displaystyle{\frac{8 \cdot 4}{2}}=\boxed{16 \ cm^{2}}\)
En el segundo caso no podemos proceder del mismo modo que en el primero.
Ahora, pondremos atención en los tres triángulos rectángulos
\(\bigtriangleup{ABF}\), \(\bigtriangleup{AGF}\) y
\(\bigtriangleup{GBF}\).
Nombramos sus respectivos lados y aplicamos el teorema de Pitágoras en
cada uno de los triángulos.
Triángulo \(\bigtriangleup{ABF}:\) $$x^2+y^2=9^2$$
Triángulo \(\bigtriangleup{AGF}:\) $$h^2+4^2=x^2$$
Triángulo \(\bigtriangleup{GBF}:\) $$h^2+5^2=y^2$$
Sustituyendo la segunda y tercera ecuación en la primera ecuación:
$$(h^2+4^2)+(h^2+5^2)=9^2$$ $$2h^2+16+25=81$$ $$2h^2=81-16-25$$
$$2h^2=40$$ $$h^2=20$$ $$h=\pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$$
Nota: De los dos posibles valores de h tomamos el positivo al ser
una distancia.
\(Área \ (sombreada)=Área \ (triángulo)=\displaystyle{\frac{base \cdot
altura}{2}}=\displaystyle{\frac{9 \cdot 2\sqrt{5}}{2}}=\boxed{9\sqrt{5} \
cm^{2}}\)
