Maestro, ¿y esto para qué sirve? Esta es una pregunta recurrente en mis
clases de MatemáTICas a diario. Si eres activo en redes sociales y te gustan
los acertijos matemáticos, este post te será de gran ayuda.
A continuación te pondré algunos ejemplos de acertijos virales que andan por
las redes sociales para los que saber operar con potencias,
sacar factor común y conocer alguna de las
identidades notables es fundamental para poder resolverlos
rápidamente y sin calculadora. ¿Sabrás resolverlas? ¡Ánimo y al lío!
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$$\displaystyle{\frac{16!-15!}{16!+15!}}$$
Solución: \(\displaystyle{\frac{15}{17}}\)
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$$\displaystyle{\frac{4444^{4}}{2222^{4}}}$$
Solución: \(\displaystyle{16}\)
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Solución: \(\displaystyle{}\)
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Solución: \(\displaystyle{}\)
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Solución: \(\displaystyle{}\)
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Solución: \(\displaystyle{}\)
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Solución: \(\displaystyle{}\)
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Solución: \(\displaystyle{}\)
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Solución: \(\displaystyle{}\)
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Solución: \(\displaystyle{}\)
Pistas:
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Propiedad distributiva de la suma o resta respecto del producto:
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Propiedad distributiva: \(a \cdot (b \pm c)=a \cdot b \pm a \cdot
c \quad \acute{o} \quad (b \pm c) \cdot a=b \cdot a \pm c \cdot
a\)
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Sacar factor común: \(a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b
\pm c) \quad \acute{o} \quad b \cdot a \pm c \cdot a= (b \pm c)
\cdot a\)
- Identidades notables:
- Suma por diferencia: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
- Diferencia de cuadrados: \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
- Propiedad de las potencias:
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Producto de potencias de la misma base: \(a^{n} \cdot
a^{m}=a^{n+m}\)
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Cociente de potencias de la misma base:
\(\displaystyle{\frac{a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}\)
- Potencia de potencia: \((a^{n})^{m}=a^{n \cdot m}\)
- \(a^{1}=a\)
- \(a^{n} = a^{m} \Rightarrow n=m\)
- Propiedades del factorial:
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Factorial de un número: \(n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)
\cdots 2 \cdot 1\)
- \(n! = n \cdot (n-1)!\)
Solución:
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En este caso aplicamos la definición de factorial, sacamos factor
común y simplificamos:
$$\displaystyle{\frac{16!-15!}{16!+15!}} = \displaystyle{\frac{(16
\cdot 15 \cdots 2 \cdot 1)-(15 \cdot 14 \cdots 2 \cdot 1)}{(16
\cdot 15 \cdots 2 \cdot 1)+(15 \cdot 14 \cdots 2 \cdot 1)}} =
\displaystyle{\frac{(16-1) \cdot 15 \cdots 2 \cdot 1}{(16+1) \cdot
15 \cdots 2 \cdot 1}} = \displaystyle{\frac{16-1}{16+1}} =
\boxed{\displaystyle{\frac{15}{17}}}$$
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En este caso aplicamos propiedades de las potencias y simplificamos:
$$\displaystyle{\frac{4444^{4}}{2222^{4}}} =
\displaystyle{\frac{\left(2 \cdot 2222\right)^{4}}{2222^{4}}} =
\displaystyle{\frac{2^{4} \cdot 2222^{4}}{2222^{4}}} =
\displaystyle{2^{4}} = \boxed{\displaystyle{16}}$$
