Producto de cuatro números consecutivos
El producto de cuatro números consecutivos se puede expresar como una suma por
una diferencia de un número más una unidad por el mismo número menos una
unidad. Ese número es la media aritmética del producto de los números de los
extremos y del producto de los números centrales.
Dos números enteros son consecutivos si difieren en una unidad.
Si llamamos a uno de ellos \(n\), el otro será \(n-1\) o \(n+1\).
De esta forma, el enunciado de nuestro problema queda de la siguiente forma:
$$\displaystyle{n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3)}=\displaystyle{(a-1)
\cdot (a+1)}$$ $$\begin{matrix} donde & a=\displaystyle{\frac{n \cdot
(n+3)+(n+1) \cdot (n+2)}{2}}\\ \end{matrix}$$
Demostración:
Calculemos el producto de los números de los extremos: $$n \cdot
(n+3)=n^2+3n$$
Calculemos el producto de los números centrales: $$(n+1) \cdot
(n+2)=n^2+2n+n+2=n^2+3n+2$$
Restando ambos números, se observa que su diferencia es de 2 unidades: $$(n+1)
\cdot (n+2)-n \cdot (n+3)=(n^2+3n+2)-(n^2+3n)=$$ $$=n^2+3n+2-n^2-3n=2$$
Sea \(a\) la media aritmética de esos dos números, es decir, el número que
ocupa la posición central entre ellos: $$a=\displaystyle{\frac{n \cdot
(n+3)+(n+1) \cdot (n+2)}{2}}=$$
$$=\displaystyle{\frac{(n^2+3n+2)+(n^2+3n)}{2}}=$$
$$=\displaystyle{\frac{2n^2+6n+2}{2}}=$$ $$=\displaystyle{n^2+3n+1}$$
De ese modo: $$\left.\begin{matrix} \displaystyle{n \cdot (n+3)}=a-1\\
\displaystyle{(n+1) \cdot (n+2)}=a+1 \end{matrix}\right\}$$
Por tanto, $$\displaystyle{n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot
(n+3)}=\displaystyle{(a-1) \cdot (a+1)}$$
Tal y como queríamos demostrar.