3ºESO SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (FORMULARIOS)

Sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incógnitas Un sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incógnitas es una expresión algebraica de la forma: \(\left.\begin{matrix} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{matrix}\right\}\) donde \(a,b,c,a',b',c'\) son números conocidos y \(x\) e \(y\) son las incógnitas. Una solución de un sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incógnitas es un par de valores \((x,y)\) que verifican las dos ecuaciones. Resolución gráfica de un sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incógnitas Se representa la recta correspondiente a la 1ª ecuación. Se representa la recta correspondiente a la 2ª ecuación. La solución del sistema de ecuaciones es el punto de corte de ambas rectas. Ejemplo: $$\left.\begin{matrix} 2x+y=5\\ x-3y=-1\end{matrix}\right\}$$ Número de soluciones de un sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incógnitas Según el número de soluciones, un sistema de ecuaciones lineal se puede clasificar en: Clasificación S.C.D. S.I. S.C.I. Criterio \(\displaystyle{\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}}\) \(\displaystyle{\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}}\) \(\displaystyle{\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}}\) Interpretación gráfica Rectas secantes Rectas paralelas Rectas coincidentes (S.C.D.) Sistema Compatible determinado si el sistema de ecuaciones lineal tiene una única solución y las dos rectas se cortan en un punto. (S.I.) Sistema Incompatible si el sistema de ecuaciones lineal no tiene solución y las dos rectas son paralelas. (S.C.I.) Sistema Compatible indeterminado si el sistema de ecuaciones lineal tiene infinitas soluciones y las dos rectas son la misma recta. Método de sustitución Se resuelven fácilmente por sustitución los sistemas en los que una de las incógnitas está despejada. Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. Se resuelve la ecuación resultante. El valor obtenido se sustituye en la ecuación donde estaba despejada la otra incógnita. Ejemplo: $$\left.\begin{matrix} y=2-2x\\ 3x-y=-7\end{matrix}\right\}$$ Método de igualación Se resuelven fácilmente por igualación los sistemas en los que una de las incógnitas ya está despejada en las dos ecuaciones. Se igualan los valores de la incógnita despejada. Se resuelve la ecuación resultante. El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla donde estaba despejada la otra incógnita. Ejemplo: $$\left.\begin{matrix} x=2y-1\\ x=3y-6\end{matrix}\right\}$$ Método de reducción Se resuelven fácilmente por reducción los sistemas en los que ninguna de las incógnitas está despejada. Mediante multiplicaciones adecuadas se obtiene un sistema de ecuaciones equivalente que tiene en la misma incógnita coeficientes opuestos. Se suman las dos ecuaciones. Se resuelve la ecuación resultante. El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla y se halla el valor de la otra incógnita. Ejemplo: $$\left.\begin{matrix} 2x+3y=7\\ 5x-6y=4\end{matrix}\right\}$$