Sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
Un sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incógnitas es una
expresión algebraica de la forma:
\(\left.\begin{matrix} ax+by=c \\ a'x+b'y=c'
\end{matrix}\right\}\)
donde \(a,b,c,a',b',c'\) son números conocidos y \(x\) e \(y\) son
las incógnitas.
Una solución de un sistema lineal de 2 ecuaciones con 2
incógnitas es un par de valores \((x,y)\) que verifican las dos
ecuaciones.
Resolución gráfica de un sistema lineal de 2 ecuaciones con 2
incógnitas
- Se representa la recta correspondiente a la 1ª ecuación.
- Se representa la recta correspondiente a la 2ª ecuación.
-
La solución del sistema de ecuaciones es el punto de corte de
ambas rectas.
Ejemplo:
$$\left.\begin{matrix} 2x+y=5\\ x-3y=-1\end{matrix}\right\}$$
Número de soluciones de un sistema lineal de 2 ecuaciones con 2
incógnitas
Según el número de soluciones, un sistema de ecuaciones lineal se
puede clasificar en:
|
Clasificación
|
S.C.D. |
S.I. |
S.C.I. |
|
Criterio
|
\(\displaystyle{\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}}\)
|
\(\displaystyle{\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq
\frac{c}{c'}}\)
|
\(\displaystyle{\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} =
\frac{c}{c'}}\)
|
|
Interpretación gráfica
|
Rectas secantes
|
Rectas paralelas
|
Rectas coincidentes
|
-
(S.C.D.) Sistema Compatible determinado si el sistema de
ecuaciones lineal tiene una única solución y las dos
rectas se cortan en un punto.
-
(S.I.) Sistema Incompatible si el sistema de ecuaciones
lineal no tiene solución y las dos rectas son paralelas.
-
(S.C.I.) Sistema Compatible indeterminado si el sistema
de ecuaciones lineal tiene infinitas soluciones y las dos
rectas son la misma recta.
Método de sustitución
Se resuelven fácilmente por sustitución los sistemas en los
que una de las incógnitas está despejada.
-
Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra
ecuación.
- Se resuelve la ecuación resultante.
-
El valor obtenido se sustituye en la ecuación donde estaba
despejada la otra incógnita.
Ejemplo:
$$\left.\begin{matrix} y=2-2x\\ 3x-y=-7\end{matrix}\right\}$$
Método de igualación
Se resuelven fácilmente por igualación los sistemas en los
que una de las incógnitas ya está despejada en las dos ecuaciones.
- Se igualan los valores de la incógnita despejada.
- Se resuelve la ecuación resultante.
-
El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla donde
estaba despejada la otra incógnita.
Ejemplo:
$$\left.\begin{matrix} x=2y-1\\ x=3y-6\end{matrix}\right\}$$
Método de reducción
Se resuelven fácilmente por reducción
los sistemas en los que ninguna de las incógnitas está
despejada.
-
Mediante multiplicaciones adecuadas se obtiene un sistema de
ecuaciones equivalente que tiene en la misma incógnita
coeficientes opuestos.
- Se suman las dos ecuaciones.
- Se resuelve la ecuación resultante.
-
El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla y se
halla el valor de la otra incógnita.
Ejemplo:
$$\left.\begin{matrix} 2x+3y=7\\ 5x-6y=4\end{matrix}\right\}$$
