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EL AMULETO DE LOS SIETE DRAGONES (#84): Cuenta una leyenda que siete dragones forjaron un amuleto compuesto por siete gemas unidas entre sí. Cada gema debía contener un número del 1 al 7, sin repetir. El poder del amuleto se activaba únicamente cuando cualquier grupo de tres gemas conectadas sumaba exactamente lo mismo. ¿Cómo deben colocarse los números?, ¿cuántas soluciones diferentes existen?
Pistas:
Solución:
Vamos a resolverlo paso a paso mediante una estrategia adecuada:
Sabemos que $$1+2+3+4+5+6+7=28$$
Por tanto, $$a+b+c+d+e+f+g=28$$
Vamos a sumar todas las cifras de las 5 líneas:
$$(a+b+c)+(a+d+g)+(c+d+e)+(b+d+f)+(e+f+g)=$$ $$=2a+2b+2c+3d+2e+2f+2g=2(a+b+c+d+e+f+g)+d=$$ $$=2 \cdot 28 +d=56+d$$
Como las cinco líneas deben sumar lo mismo, \(56+d\) debe ser múlptiplo de 5, con \(1 \leq d \leq 7\). Así que buscamos el menor múltiplo de 5 mayor de 56, que resulta ser 60.
$$Total \ (línea)=\displaystyle{\frac{60}{5}}=12$$ $$56+d=60 \Rightarrow d=4$$
Así que el número central es 4 y solamente queda buscar parejas de números que junto a 4 sumen 12. $$\left\{ 1, 7 \right\}, \quad \left\{ 2, 6 \right\} \quad y \quad \left\{ 3, 5 \right\}$$
Una vez colocado el 4 en la gema central, podemos colocar el 1 en 6 posiciones distintas alrededor del 4, y por tanto, el 7 en una única posición, la gema restante de esa misma línea.
Solamente nos quedan dos tríos de números que sin el 4 sumen 12. $$\left\{ 1, 5, 6 \right\} \quad y \quad \left\{ 2, 3, 7 \right\}$$ Esos tríos de números se corresponden con las dos líneas que no pasan por la gema central.
Al estar determinada la posición del 1, solamente quedan dos posiciones distintas para el 5, y por tanto una única posición para el 6.
Por tanto, tendremos \(6 \cdot 2 \cdot 1 = 12\) soluciones.
Por la simetría de la figura, observamos que de las 12 posibles soluciones, solamente 3 de ellas son distintas (las 3 primeras), salvo giros y simetrías.
