RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES EN LÍMITES DE FUNCIONES
Una indeterminación ocurre cuando al calcular un límite obtenemos una expresión que no permite conocer directamente el resultado, como:
\(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\infty-\infty\), \(0 \cdot \infty\), \(1^{\infty}\), \(0^{0}\) y \(\infty^{0}\)
Tipos de Indeterminaciones
| Indeterminación | Método de resolución |
|---|---|
| \( \displaystyle{\frac{0}{0}} \) | Factorizar y simplificar o multiplicar y dividir por el conjugado cuando aparecen raíces cuadradas |
| \( \displaystyle{\frac{\infty}{\infty}} \) | La regla de los grados o dividir por la mayor potencia de x en el numerador y denominador cuando aparecen radicales |
| \( \infty - \infty \) | Multiplicar y dividir por el conjugado cuando aparecen raíces cuadradas |
| \( 0 \cdot \infty \) | Cambio de variable o logaritmos |
| \( 1^{\infty} \), \( 0^{0} \) y \( \infty^{0} \) | Logaritmos y exponenciales |
Regla de L'Hôpital
- La Regla de L'Hôpital se utiliza para resolver límites en un punto que presentan formas indeterminadas como \(\left[\displaystyle{\frac{0}{0}}\right]\) ó \(\left[\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}\right]\).
Si \(f(x)\) y \(g(x)\) son funciones continuas en \(\left[a,b\right]\) y
derivables en \(\left(a,b\right)\), con \(g'(x) \neq 0\), \(x \in
\left(a,b\right)\) y supongamos que: $$\lim_{x \to a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)} =
\left[\displaystyle{\frac{0}{0}}\right] \quad \text{ó} \quad
\left[\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}\right],$$ Si es: $$\lim_{x \to
a^{+}} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L,$$ Entonces: $$\lim_{x \to a^{+}}
\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a^{+}} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L.$$
- La Regla de L'Hôpital también se utiliza para resolver límites en el infinito (\(\pm \infty\)) que presentan formas indeterminadas como \(\left[\displaystyle{\frac{0}{0}}\right]\) ó \(\left[\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}\right]\).
Si \(f(x)\) y \(g(x)\) son funciones continuas en \(\left[a,+\infty\right)\) y
derivables en \(\left(a,+\infty\right)\), con \(g'(x) \neq 0\), \(x \in
\left(a,+\infty\right)\) y supongamos que: $$\lim_{x \to +\infty}
\frac{f(x)}{g(x)} = \left[\displaystyle{\frac{0}{0}}\right] \quad \text{ó}
\quad \left[\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}\right],$$ Si es: $$\lim_{x
\to +\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L,$$ Entonces: $$\lim_{x \to +\infty}
\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L.$$
- Es posible que deba aplicarse varias veces si la indeterminación persiste.