PRIMOS Y CAPICÚA (#66)
PRIMOS Y CAPICÚA (#66): Ser número primo ya tiene su gracia, pero
ser además un número capicúa es algo sublime. ¿Sabrías decir cuál es el
menor número de tres cifras primo y capicúa? ¿Y el mayor? ¿Cuántos números
de dos cifras primos y capicua existen? ¿Y de cuatro cifras? ¿Podrías
generalizar el resultado obtenido para números primos y capicúa con un
número par de cifras?
Pistas:
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Un número natural \(p\) es primo si tiene
exactamente dos divisores: La unidad \((1)\) y el propio número
\((p)\).
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Un número natural es capicúa cuando
se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha.
- Los criterios de divisbilidad te serán de mucha ayuda.
Solución:
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El menor número primo capicúa de tres cifras es 101. Es el menor
número de tres cifras que se lee igual de izquierda a derecha que de
derecha a izquierda y es un número primo, lo que significa que solo es
divisible por 1 y por sí mismo.
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El mayor número primo capicúa de tres cifras es 929. Aunque el
número 999 es el mayor de tres cifras, no es primo. El 997 es el mayor
número primo de tres cifras, pero no es capicúa.
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Solo existe un número de dos cifras que es primo y capicúa: el 11. Todos los números capicúas de dos cifras son divisibles por 11, pero
solo el 11 es un número primo, ya que los demás (22, 33, 44, 55, 66, 77,
88 y 99) tienen más de dos divisores y no son primos.
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No existen números primos capicúa de cuatro cifras. Un número
capicúa de cuatro cifras tiene la forma \(abba\), donde a no es
cero. Tales números son siempre divisibles por 11 (ya que
\(1000a+100b+10b+a=1001a+110b=11(91a+10b)\)), y solo el número 11 es
primo y tiene un número par de cifras, por lo que todos los números
capicúas de cuatro cifras son compuestos.
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No existen números capicúas con un número par de cifras que sean
primos, excepto por el número 11. La razón es que todos los números capicúas de 2, 4, 6, etc., cifras
son divisibles por 11 y por lo tanto no son primos, a excepción del 11,
que es el único caso.