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¿MAGIA O MATEMÁTICAS?


Hoy la clasde dará comienzo con un truco de magia con unas cartas muy especiales con las que haremos "Magia MatemáTICa".

El truco consiste en adivinar el número que has elegido de entre los 100 primeros números enteros positivos, simplemente señalando en cuales de las 7 cartas binarias aparece. ¿Qué te parece el truco?, ¿es sorprendente o no? A continuación veremos que no es magia sino MatemáTICas.

Para poder explicarte el truco y que lo entiendas, debemos hacer una breve introducción a las potencias de base 2 y a una propiedad que cumplen los números naturales:

"Todo número natural puede expresarse como suma de potencias de base 2 en la que cada potencia aparece como máximo una vez"

$$2^{0}=1, 2^{1}=2, 2^{2}=4, 2^{3}=8, 2^{4}=16, 2^{5}=32, 2^{6}=64,...$$

¿Sabrías calcular la representación de los números del 1 al 100 como suma de potencias de base 2 en la que cada potencia aparece como máximo una vez?

Esta representación de un número natural como potencias de base 2 está directamente relacionada con la representación de un número en el sistema binario. Vamos a dar unas breves nociones históricas y un algoritmo de cálculo para que te resulte sencillo comprenderlo.

Sistema binario

Sistema binario

El sistema binario, es un sistema de numeración en el que los números son representados utilizando únicamente dos cifras: 0 (cero) y 1 (uno). Es el sistema básico que se utiliza en las computadores, debido a que estas trabajan internamente con dos estados (0 apagado, 1 encendido), por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario. Aunque el sistema numérico binario moderno fue desarrollado por Gottfried Leibniz en Europa en los siglos XVI y XVII, apareció con anterioridad en otras culturas como la egipcia, china o india.

La relación existente entre las potencias de base 2 y la representación binaria viene de los posibles restos de una división entre 2, que son 0 (si la división es exacta) y 1 (si la división es entera).

Representación de números en el sistema binario

Si tenemos la representación del número natural como suma de potencias de 2 en la que cada potencia distinta de 2 aparece como máximo una vez y estas potencias están ordenadas de mayor a menor, la representación binaria de ese número natural se obtiene colocando en ese mismo orden decreciente un 1 si esa potencia aparece en esa suma y un 0 si la potencia no aparece.

$$19 \quad (decimal)=16+2+1=$$ $$=2^{4}+2^{1}+2^{0}=$$ $$=1 \cdot 2^{4}+0 \cdot 2^{3}+0 \cdot 2^{2}+1 \cdot 2^{1}+1 \cdot 2^{0}=$$ $$=10011 \quad (binario)$$

¿Sabrías calcular la representación binaria de los números del 1 al 100?

Te muestro otro algoritmo diferente de cálculo en el que no es necesario conocer su representación como suma de potencias de base 2 en la que cada potencia aparece como máximo una vez.

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