A SALTO DE CABALLO (Leonhard Euler y su cuadrado semimágico)
Un cuadrado mágico de orden \(n\) es un conjunto de \(nxn\) números
dispuestos en \(n\) filas y \(n\) columnas, de forma que la suma de los
números de cada una de las filas, de los números de cada una de las columnas
y los de las dos diagonales principales es siempre la misma. A esta suma se
le llama constante mágica. Usualmente los números empleados para
rellenar las casillas son consecutivos, de \(1\) a \(n^{2}\), siendo \(n\)
el número de columnas y filas del cuadrado mágico.
Vamos a poner como ejemplo el más sencillo de los cuadrados mágicos, el
cuadrado 3x3 en el que vamos a distribuir los números del 1 al
9
de manera que cada fila, columna y diagonal principal del cuadrado, sumen lo
mismo.
Como no sabemos la posición de cada uno de los números del 1 al
9
dentro del cuadrado mágico, usaremos de manera general las incógnitas
\(x_{1}\),\(x_{2}\),\(x_{3}\),\(x_{4}\),\(x_{5}\),\(x_{6}\),\(x_{7}\),\(x_{8}\)
y \(x_{9}\).
¿Cómo averiguamos el valor de la constante mágica?
\(S=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45\)
Como hay tres filas (columnas) y el valor de su suma debe ser el mismo,
entonces
cada fila, columna o diagonal principal debe sumar 15.
¿Qué número ocupará el lugar central?
Por lógica, si debemos colocar en la cuadrícula los números del
1 al 9, que cada fila, columna y diagonal principal sumen
lo mismo y es el 5 el número que ocupa la posición central de
todos ellos, debe ser el número 5 el que ocupe esa posición
central. No obstante, no nos vamos a dejar llevar por nuestra intuición,
sino que vamos a demostrarlo de manera exhaustiva.
\(x_{1}+x_{5}+x_{9}=15\)
\(x_{3}+x_{5}+x_{7}=15\)
\(x_{2}+x_{5}+x_{8}=15\)
\(x_{4}+x_{5}+x_{6}=15\)
Sumando las cuatro ecuaciones se obtiene que:
\(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+4x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}=60\)
\(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}=60-3x_{5}\)
\(45=60-3x_{5} \Rightarrow 3x_{5}=15 \Rightarrow
x_{5}=\displaystyle{\frac{15}{3}}=5\)
¿Qué números pueden ocupar las esquinas del cuadrado?
Si el número 5 ocupa la posición central,
en esquinas opuestas debe haber dos números impares o dos números
pares, ya que la suma de los elementos de la diagonal principal debe ser
15 (impar).
Si colocamos el número 1 en una de las esquinas, podemos
comprobar que el resto de números de esa fila y columna deben sumar
14. Las únicas posiblidades de dos números que sumen 14 son
5+9=14, 6+8=14 o 7+7=14, pero no sería posible
puesto que habría que repetir un mismo número (el 5 o el
7) en dos casillas distintas.
Por tanto, en las esquinas debemos tener números pares.
Colocando un número par en una de las esquinas y ajustando los cálculos,
llegamos
al único cuadrado mágico de orden 3 posible con los números
del 1 al 9 (salvo rotaciones o simetrías).
Observa los números que ocupan las esquinas del cuadrado mágico. ¿Te gusta
el ajedrez? ¿Conoces el moviemiento del caballo? Intenta deducir otra
propiedad que cumplen los números que ocupan las esquinas del cuadrado
mágico.
El número que se encuentra en la esquina es la semisuma de los
números que se encuentran en las posiciones del salto de caballo desde
esa esquina.
\(2=\displaystyle{\frac{1+3}{2}}\), \(4=\displaystyle{\frac{1+7}{2}}\),
\(6=\displaystyle{\frac{3+9}{2}}\) y \(8=\displaystyle{\frac{7+9}{2}}\)
¿Es posible generalizar las propiedades anteriores para formar un cuadrado
mágico a partir de tres números x, y, z?
El valor de cada fila, columna y diagonal principal es el mismo e igual
a 3x. Dando valores numéricos a las variables x, y,
z, obtenemos diferentes cuadrados mágicos.
El matemático suizo
Leonhard Euler (1707-1783), construyó un cuadrado semimágico 8x8 con los sesenta y
cuatro primeros números naturales que para no ser mágico, cumple unas
propiedades bastante curiosas.
- ¿Por qué es un cuadrado semimágico?
- ¿Cuál es la constante mágica?
-
¿Qué otras propiedades observas que se cumplen en el cuadrado semimágico
de Euler?
Es un cuadrado semimágico ya que en este cuadrado,
cada fila y cada columna suman 260 (constante mágica). Sin
embargo, las diagonales principlaes no suman 260, por lo que no llega a
ser un cuadrado mágico en el sentido estricto. Sin embargo, 260 al
detenerse en la mitad de cada fila o columna, la suma es 130,
exactamente la mitad de 260.
Además, este cuadrado tiene una propiedad muy interesante:
Si te imaginas el cuadrado en un tablero de ajedrez 8x8, puedes ir
desde el número 1 hasta el 64, de forma consecutiva, siguiendo el
movimiento del caballo, sin pasar dos veces por la misma casilla del
tablero.
