SIN CALCULADORA EN LAS REDES SOCIALES (#3)

Maestro, ¿y esto para qué sirve? Esta es una pregunta recurrente en mis clases de MatemáTICas a diario. Si eres activo en redes sociales y te gustan los acertijos matemáticos, este post te será de gran ayuda.

A continuación te pondré algunos ejemplos de acertijos virales que andan por las redes sociales para los que saber operar con potencias, sacar factor común, la definción de factorial de un número natural y resolver ecuaciones de primer y segundo grado es fundamental para poder solucionarlos rápidamente y sin calculadora. ¿Sabrás resolverlas? ¡Ánimo y al lío!

• $$\begin{matrix} \displaystyle{2^{10}-2^{9}=2^{x}} \\ \hbox{Halla } \displaystyle{x} \end{matrix}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{x=9}$

  
  

• $$\begin{matrix} \displaystyle{2^{k^{2}-4}=8^{4}}\\ \hbox{Halla } \displaystyle{k!} \end{matrix}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{k!=24}$

  
  

• $$\begin{matrix} \displaystyle{9^{\sqrt{x}}=3} \\ \hbox{Halla } \displaystyle{x} \end{matrix}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{x=\frac{1}{4}}$

  
  

• $$\begin{matrix} \displaystyle{4^{8^{3+2x}}}=\displaystyle{16^{2^{7x-1}}} \\ \hbox{Halla } \displaystyle{x} \end{matrix}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{x=9}$

  
  

• $$\begin{matrix} \displaystyle{\frac{21^{4x-3}}{3^{x+2}}}=\displaystyle{7^{x+2}} \\ \hbox{Halla } \displaystyle{x} \end{matrix}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{x=\frac{5}{3}}$

  
  

• $$\begin{matrix} \displaystyle{\frac{1}{9^{x}}+\frac{1}{9^{x}}+\frac{1}{9^{x}}=\frac{1}{3^{4047}}} \\ \hbox{Halla } \displaystyle{x} \end{matrix}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{x=2024}$

  
  

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Pistas:

• Propiedad distributiva de la suma o resta respecto del producto:
• Propiedad distributiva: $a \cdot (b \pm c)=a \cdot b \pm a \cdot c$ o $(b \pm c) \cdot a=b \cdot a \pm c \cdot a$
• Sacar factor común: $a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b \pm c)$ o $b \cdot a \pm c \cdot a= (b \pm c) \cdot a$
• Propiedad de las potencias:
• Potencia de potencia: $(a^{n})^{m}=a^{n \cdot m}$
• Potencia de un producto: $a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$
• Propiedad del factorial:
• Factorial de un número natural: $\displaystyle{n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1}$
• Resolver una ecuación:
• 1º grado: $\displaystyle{a \cdot x=b} \Rightarrow \displaystyle{x=\frac{b}{a}}$
• 2º grado completa: $\displaystyle{ax^{2}+bx+c=0 \Rightarrow x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$
• 2º grado incompleta $(b=0)$: $\displaystyle{ax^{2}+c=0 \Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{-c}{a}}}$
• 2º grado incompleta $(c=0)$: $\displaystyle{ax^{2}+bx=0} \Rightarrow \displaystyle{x(ax+b)=0} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \displaystyle{x=0} \\ ó \\ \displaystyle{x=\frac{-b}{a}} \end{matrix}\right.$
• Exponencial: $\displaystyle{a^{x}=a^{n}} \Rightarrow \displaystyle{x=n}$

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Solución:

• En este caso extraemos factor común:

  $$\displaystyle{2^{10}-2^{9}=2^{x}} \Rightarrow \displaystyle{2^{9} \cdot (2-1)=2^{x}} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \displaystyle{2^{9} \cdot 1=2^{x}} \Rightarrow \displaystyle{2^{9}=2^{x}} \Rightarrow \displaystyle{x=9}$$

• En este caso aplicamos la potencia de potencia y resolvemos una ecuación de 2º grado incompleta $(b=0)$. Por último, aplicamos la definición de factorial de un número natural:

  $$\displaystyle{2^{k^{2}-4}=8^{4}} \Rightarrow \displaystyle{2^{k^{2}-4}=(2^{3})^{4}} \Rightarrow \displaystyle{2^{k^{2}-4}=2^{12}} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \displaystyle{k^{2}-4=12} \Rightarrow \displaystyle{k^{2}=16} \Rightarrow \displaystyle{k=\pm \sqrt{16}} \Rightarrow \displaystyle{k=\pm 4}$$ $$k=+4 \Rightarrow 4!=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24$$

• En este caso aplicamos propiedades de las potencias y resolvemos una ecuación exponencial:

  $$\displaystyle{9^{\sqrt{x}}=3} \Rightarrow \displaystyle{(3^{2})^{\sqrt{x}}=3} \Rightarrow \displaystyle{3^{2\sqrt{x}}=3} \Rightarrow \displaystyle{3^{2\sqrt{x}}=3^{1}} \Rightarrow \displaystyle{2\sqrt{x}=1} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \displaystyle{\sqrt{x}=\frac{1}{2}} \Rightarrow \displaystyle{\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} \Rightarrow \displaystyle{x=\frac{1}{4}}$$

• En este caso aplicamos propiedades de las potencias y resolvemos una ecuación exponencial:

  $$\displaystyle{4^{8^{3+2x}}}=\displaystyle{16^{2^{7x-1}}} \Rightarrow \displaystyle{4^{8^{3+2x}}}=\displaystyle{\left(4^2\right)^{2^{7x-1}}} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \displaystyle{4^{\left(2^3\right)^{3+2x}}}=\displaystyle{4^{2 \cdot 2^{7x-1}}} \Rightarrow \displaystyle{4^{2^{3 \cdot \left(3+2x\right)}}}=\displaystyle{4^{2^{1} \cdot 2^{7x-1}}} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \displaystyle{4^{2^{9+6x}}}=\displaystyle{4^{2^{1+7x-1}}}\Rightarrow \displaystyle{4^{2^{9+6x}}}=\displaystyle{4^{2^{7x}}} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \displaystyle{2^{9+6x}}=\displaystyle{2^{7x}} \Rightarrow \displaystyle{9+6x}=\displaystyle{7x} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \displaystyle{9}=\displaystyle{7x-6x} \Rightarrow \displaystyle{x=9}$$

• En este caso aplicamos propiedades de las potencias y resolvemos una ecuación exponencial:

  $$\displaystyle{\frac{21^{4x-3}}{3^{x+2}}}=\displaystyle{7^{x+2}} \Rightarrow \displaystyle{21^{4x-3}}=\displaystyle{7^{x+2} \cdot 3^{x+2}} \Rightarrow \displaystyle{21^{4x-3}}=\displaystyle{(7 \cdot 3)^{x+2}} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \displaystyle{21^{4x-3}=21^{x+2}} \Rightarrow \displaystyle{4x-3=x+2} \Rightarrow \displaystyle{4x-x=2+3} \Rightarrow \displaystyle{3x=5} \Rightarrow \displaystyle{x=\frac{5}{3}}$$

• En este caso sacamos factor común o sumamos fracciones con el mismo denominador, aplicamos propiedades de las potencias y resolvemos una ecuación exponencial:

  $$\displaystyle{\frac{1}{9^{x}}+\frac{1}{9^{x}}+\frac{1}{9^{x}}=\frac{1}{3^{4047}}} \Rightarrow \displaystyle{\frac{1+1+1}{9^{x}}=\frac{1}{3^{4047}}} \Rightarrow \displaystyle{\frac{3}{\left(3^2\right)^{x}}=\frac{1}{3^{4047}}} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \displaystyle{\frac{3^{1}}{3^{2x}}=\frac{1}{3^{4047}}} \Rightarrow \displaystyle{3^{1-2x}=3^{-4047}} \Rightarrow \displaystyle{1-2x=-4047} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \displaystyle{1+4047=2x} \Rightarrow \displaystyle{4048=2x} \Rightarrow \displaystyle{x=\frac{4048}{2}} \Rightarrow \displaystyle{x=2024}$$