Maestro, ¿y esto para qué sirve? Esta es una pregunta recurrente en mis
clases de MatemáTICas a diario. Si eres activo en redes sociales y te gustan
los acertijos matemáticos, este post te será de gran ayuda.
A continuación te pondré algunos ejemplos de acertijos virales que andan por
las redes sociales para los que saber operar con radicales,
racionalizar radicales, sacar factor común y conocer alguna de
las identidades notables es fundamental para poder resolverlos
rápidamente y sin calculadora. ¿Sabrás resolverlas? ¡Ánimo y al lío!
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$$\displaystyle{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$$
Solución: \(\displaystyle{8}\)
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$$\displaystyle{\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$$
Solución: \(\displaystyle{2}\)
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$$\displaystyle{\frac{3\sqrt{3}+8+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}}$$
Solución: \(\displaystyle{4}\)
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Pistas:
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Propiedad distributiva de la suma o resta respecto del producto:
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Propiedad distributiva: \(a \cdot (b \pm c)=a \cdot b \pm a \cdot
c\) o \((b \pm c) \cdot a=b \cdot a \pm c \cdot a\)
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Sacar factor común: \(a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b
\pm c)\) o \(b \cdot a \pm c \cdot a= (b \pm c) \cdot a\)
- Identidades notables:
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Suma por diferencia:
\(\displaystyle{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=\displaystyle{(\sqrt{a})^{2}}-\displaystyle{(\sqrt{b})^{2}}=a-b}\)
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Diferencia de cuadrados:
\(\displaystyle{a-b=\displaystyle{(\sqrt{a})^{2}}-\displaystyle{(\sqrt{b})^{2}}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}\)
- Propiedad de los radicales:
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Producto de radicales del mismo índice:
\(\displaystyle{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot
b}}\)
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Cociente de radicales del mismo índice:
\(\displaystyle{\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}=\displaystyle{\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}\)
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Potencia de un radical:
\(\displaystyle{(\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}}\)
- \(\displaystyle{(\sqrt[n]{a})^{n}=a}\)
Soluciones:
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En este caso racionalizamos, aplicamos identidades notables y
propiedades de los radicales:
$$\displaystyle{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}=$$
$$=\displaystyle{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \cdot
\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}
\cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}=$$
$$=\displaystyle{\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}
+
\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}}=$$
$$=\displaystyle{\frac{(\sqrt{5})^{2}+2\sqrt{5}\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}{5-3}
+ \frac{(\sqrt{5})^{2}-2\sqrt{5}\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}{5-3}}=$$
$$=\displaystyle{\frac{5+2\sqrt{15}+3}{2}} +
\displaystyle{\frac{5-2\sqrt{15}+3}{2}}=$$
$$=\displaystyle{\frac{8+2\sqrt{15}}{2}} +
\displaystyle{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}}=$$
$$=\displaystyle{\frac{8+2\sqrt{15}+8-2\sqrt{15}}{2}}=\displaystyle{\frac{16}{2}}=\displaystyle{8}$$
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En este caso, restamos radicales semejantes y simplificamos:
$$\displaystyle{\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}=\displaystyle{\frac{(3-1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}=\displaystyle{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}=2$$
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En este caso, sumamos radicales semejantes, sacamos factor común y simplificamos:
$$\displaystyle{\frac{3\sqrt{3}+8+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}}=\displaystyle{\frac{(3+1)\sqrt{3}+8}{\sqrt{3}+2}}=\displaystyle{\frac{4\sqrt{3}+8}{\sqrt{3}+2}}=\displaystyle{\frac{4(\sqrt{3}+2)}{\sqrt{3}+2}}=4$$
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En este caso:
$$\displaystyle{}$$
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En este caso:
$$\displaystyle{}$$
-
En este caso:
$$\displaystyle{}$$
