SIN CALCULADORA EN LAS REDES SOCIALES (#2)

Maestro, ¿y esto para qué sirve? Esta es una pregunta recurrente en mis clases de MatemáTICas a diario. Si eres activo en redes sociales y te gustan los acertijos matemáticos, este post te será de gran ayuda.

A continuación te pondré algunos ejemplos de acertijos virales que andan por las redes sociales para los que saber operar con radicales, racionalizar radicales, sacar factor común y conocer alguna de las identidades notables es fundamental para poder resolverlos rápidamente y sin calculadora. ¿Sabrás resolverlas? ¡Ánimo y al lío!

• $$\displaystyle{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{8}$

  
  

• $$\displaystyle{\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{2}$

  
  

• $$\displaystyle{\frac{3\sqrt{3}+8+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}}$$

  
  

  Solución: $\displaystyle{4}$

  
  

• $$\displaystyle{}$$

  
  

  Solución:

  
  

• $$\displaystyle{}$$

  
  

  Solución:

  
  

• $$\displaystyle{}$$

  
  

  Solución:

  
  

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Pistas:

• Propiedad distributiva de la suma o resta respecto del producto:
• Propiedad distributiva: $a \cdot (b \pm c)=a \cdot b \pm a \cdot c$ o $(b \pm c) \cdot a=b \cdot a \pm c \cdot a$
• Sacar factor común: $a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b \pm c)$ o $b \cdot a \pm c \cdot a= (b \pm c) \cdot a$
• Identidades notables:
• Suma por diferencia: $\displaystyle{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=\displaystyle{(\sqrt{a})^{2}}-\displaystyle{(\sqrt{b})^{2}}=a-b}$
• Diferencia de cuadrados: $\displaystyle{a-b=\displaystyle{(\sqrt{a})^{2}}-\displaystyle{(\sqrt{b})^{2}}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$
• Propiedad de los radicales:
• Producto de radicales del mismo índice: $\displaystyle{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}}$
• Cociente de radicales del mismo índice: $\displaystyle{\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}=\displaystyle{\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}$
• Potencia de un radical: $\displaystyle{(\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}}$
• $\displaystyle{(\sqrt[n]{a})^{n}=a}$

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Soluciones:

• En este caso racionalizamos, aplicamos identidades notables y propiedades de los radicales:

  $$\displaystyle{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}=$$ $$=\displaystyle{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}=$$ $$=\displaystyle{\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}} + \frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}}=$$ $$=\displaystyle{\frac{(\sqrt{5})^{2}+2\sqrt{5}\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}{5-3} + \frac{(\sqrt{5})^{2}-2\sqrt{5}\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}{5-3}}=$$ $$=\displaystyle{\frac{5+2\sqrt{15}+3}{2}} + \displaystyle{\frac{5-2\sqrt{15}+3}{2}}=$$ $$=\displaystyle{\frac{8+2\sqrt{15}}{2}} + \displaystyle{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}}=$$ $$=\displaystyle{\frac{8+2\sqrt{15}+8-2\sqrt{15}}{2}}=\displaystyle{\frac{16}{2}}=\displaystyle{8}$$

• En este caso, restamos radicales semejantes y simplificamos:

  $$\displaystyle{\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}=\displaystyle{\frac{(3-1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}=\displaystyle{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}=2$$

• En este caso, sumamos radicales semejantes, sacamos factor común y simplificamos:

  $$\displaystyle{\frac{3\sqrt{3}+8+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}}=\displaystyle{\frac{(3+1)\sqrt{3}+8}{\sqrt{3}+2}}=\displaystyle{\frac{4\sqrt{3}+8}{\sqrt{3}+2}}=\displaystyle{\frac{4(\sqrt{3}+2)}{\sqrt{3}+2}}=4$$

• En este caso:

  $$\displaystyle{}$$

• En este caso:

  $$\displaystyle{}$$

• En este caso:

  $$\displaystyle{}$$