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Muchachuche y el problema de las perpendiculares y las bisectrices


Estaba el otro día entre pruebas del XXVI LOGICÓN, un concurso de Lógica Matemática para alumnos de E.S.O. y Bachillerato que organiza el Departamento de Matemáticas de mi actual centro, el I.E.S. Delgado Hernández de Bollullos par del Condado (Huelva), que además fue el centro donde cursé mis estudios de Bachillerato, cuando recibí un mail que me sorprendió. Me resultó raro que cuatro de mis alumnas de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I, que por cierto no se inscribieron en el concurso, me enviaran un mail para encargarme una tarea. Pretendían mantenerme entretenido el fin de semana, y la verdad es que en cuanto lo leí, tomé papel y lápiz y me puse manos a la obra.

El problema de Muchachuche (así denominado por ellas) es el siguiente:
  • La medida de los ángulos de un triángulo ABC son tales que A < B < 90º < C.
  • La recta perpendicular a la bisectriz del ángulo A, trazada por A, corta a la recta BC en el punto P.
  • La recta perpendicular a la bisectriz del ángulo C, trazada por C, corta a la recta AB en el punto Q.
  • Sabiendo que los segmentos AP, CQ y AC son iguales, calcular la medida interna de los ángulos A, B y C.
Tras pensar un poco y hacer un boceto del dibujo, observé que para resolverlo solo necesitaba un poco de Álgebra y algo de Geometría:
  • Las bisectriz de un ángulo, divide al ángulo en dos partes iguales.
  • Las rectas perpendiculares forman un ángulo de 90º.
  • Los ángulos suplementarios suman 180º.
  • Los tres ángulos de un triángulo suman 180º.
  • En un triángulo, a lados iguales, se oponen ángulos iguales.
  • Debemos resolver un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas (los valores de los ángulos A, B y C)

Del triángulo ABC se deduce que:
 


Del triángulo isósceles ACP se deduce que:
 

Del triángulo isósceles ACQ se deduce que:


Resolviendo el sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:





Es fácil resolver dicho sistema de ecuaciones:
  • Resolvemos previamente el sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incógnitas determinado por las dos últimas ecuaciones para obtener A y C.
  • Posteriormente, sustituimos A y C en la primera de las ecuaciones para obtener el valor de B.
Las soluciones de dicho sistema son:

Gracias a Paula, MC, Mari Ángeles y Cristina por entretenerme y demostrar que sois muy TIC-competentes.
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