LA TUBERÍA INVISIBLE (#89)

LA TUBERÍA INVISIBLE (#89): El Zalemo del Condado organiza en su tiempo libre eventos en una bodega del pueblo. Para acondicionar uno de los salones, decide ocultar una tubería que se encuentra en una de las esquinas y que baja desde el techo hasta el suelo. Para tapar la tubería, utiliza placas de pladur. Al colocarlas en la esquina, la tubería queda escondida y encerrada, formando un prisma recto cuya base es un triángulo rectángulo, con catetos de 3 dm y 4 dm, respectivamente, e hipotenusa de 5 dm. En el gráfico se muestra la sección plana del prisma, con la tubería cilíndrica en su interior. Después de haberla tapado, recordó que el fontanero le había preguntado por el diámetro de la tubería. ¿Podrías ayudarle a calcularlo?

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Pistas:

• No intentes medirlo directamente.
• Observa que la circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.
• Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular a su radio.
• El diámetro de una circunferencia es igual al doble de su radio.
• Las medidas de los lados del triángulo rectángulo son las únicos datos que necesitas.

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Solución:

Como los lados del triángulo son tangentes a la circunferencia, se cumple que los lados son perpendiculares al radio de la circunferencia. Si observas, los radios son las alturas de los tres triángulos sombreados en el gráfico.

Dividiremos el triángulo rectángulo del problema en tres rectángulos tal como se muestra en el gráfico:

Se cumple que el área del triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 coincide con la suma de las áreas de los tres triángulos sombreados.

Calculamos las áreas de cada uno de esos triángulos.

Área Triángulo rectángulo: $$Área(T)=\displaystyle{\frac{base \cdot altura}{2}}=\displaystyle{\frac{3 \cdot 4}{2}}=6 \ dm^2$$

Triángulo gris claro: $$Área(T_1)=\displaystyle{\frac{base_1 \cdot altura_1}{2}}=\displaystyle{\frac{3 \cdot r}{2}}=\displaystyle{\frac{3r}{2}} \ dm^2$$

Triángulo gris: $$Área(T_2)=\displaystyle{\frac{base_2 \cdot altura_2}{2}}=\displaystyle{\frac{4 \cdot r}{2}}=\displaystyle{\frac{4r}{2}} \ dm^2= 2r \ dm^2$$

Triángulo gris oscuro: $$Área(T_3)=\displaystyle{\frac{base_3 \cdot altura_3}{2}}=\displaystyle{\frac{5 \cdot r}{2}}=\displaystyle{\frac{5r}{2}} \ dm^2$$

Igualándo las áreas obtendremos el valor del radio de la circunferencia. $$Área(T)=Área(T_1)+Área(T_2)+Área(T_3)$$ $$6=\displaystyle{\frac{3r}{2}}+\displaystyle{2r}+\displaystyle{\frac{5r}{2}}$$ $$6=\displaystyle{\frac{3r}{2}}+\displaystyle{\frac{4r}{2}}+\displaystyle{\frac{5r}{2}}$$ $$6=\displaystyle{\frac{3r+4r+5r}{2}}$$ $$6=\displaystyle{\frac{12r}{2}}$$ $$6=6r$$ $$\boxed{r=1 \ dm}$$

Una vez que sabemos el valor del radio, calcular el diámetro es sencillo.

$$d=2 \cdot r = 2 \cdot 1 =2 \Rightarrow \boxed{d=2 \ dm}$$