EL CLUB DE LOS NÚMEROS PERFECTOS (#67)
EL CLUB DE LOS NÚMEROS PERFECTOS (#67):
En el mundo humano, ser perfecto significa no equivocarse, no fallar, no
decepcionar. Pero los errores son precisamente lo que nos enseña, lo que
nos hace mejorar y evolucionar. Si fuéramos perfectos, dejaríamos de
aprender. Por eso, la perfección no solo es difícil, sino también
contraria a nuestra naturaleza. Ser humano implica tener límites, y esos
límites son los que nos empujan a superarnos. Incluso en las matemáticas,
donde todo parece exacto y lógico, la perfección es rara. Los llamados
números perfectos,
aquellos que son iguales a la suma de sus divisores propios, son
pocos y escasos. Existen infinitos números, pero solo unos cuantos logran
esa perfección numérica. Esto demuestra que, aun en un mundo tan preciso
como el de los números, la perfección no es común: es una excepción.
Encuentra los números perfectos de hasta cuatro cifras y demuestra que
son perfectos. ¿Cuántos has encontrado?
Pistas:
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Un número natural \(p\) es perfecto si es igual a la suma de sus
divisores propios (todos sus divisores positivos, excluyendo al propio
número)
- Lo primero que debes hacer es encontrar todos sus divisores.
- Los criterios de divisbilidad te serán de mucha ayuda.
Solución:
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Hay 4 números perfectos de hasta 4 cifras: \(6, 28, 496\) y \(8128\).
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Para comprobarlo, calculamos sus divisores propios, es decir, todos sus
divisores excepto el propio número y los sumamos:
\(div(6)=\left\{1, 2, 3, 6\right\}\) $$1+2+3=6$$ \(div(28)=\left\{1, 2,
4, 7, 14, 28\right\}\) $$1+2+4+7+14=28$$ \(div(496)=\left\{1, 2, 4, 8,
16, 31, 62, 124, 248, 496\right\}\) $$1+2+4+8+16+31+62+124+248=496$$
\(div(8128)=\left\{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032,
4064, 8128\right\}\)
$$1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064=8128$$
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Los griegos (Pitágoras y Euclides) ya los estudiaban hace más de 2000
años.
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San Agustín los consideraba símbolos de perfección divina: por ejemplo,
el mundo fue creado en 6 días, un número perfecto.
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Todos los números perfectos conocidos son pares. Se desconoce si
existen números perfectos impares; es uno de los grandes problemas
abiertos en teoría de números.
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Son extremadamente raros: hasta hoy
solo se conocen unos 50 números perfectos, y todos son enormes.