LOS NÚMEROS FIGURADOS (#08)
LOS NÚMEROS FIGURADOS: Las sucesiones de números y en concreto el
cálculo de su término general, una fórmula que nos proporcione el número
que ocupa la posición deseada, son una buena manera de cultivar nuestro
ingenio. ¿Con qué clase de números figurados está relacionada esta
sucesión? ¿Podrías obtener su término general a partir del de los números
triangulares y los números cuadrados?. Investiga y encontrarás la
respuesta. ¡No desesperes y al lío!
Pistas:
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La sucesión de la que buscamos el término general está muy relacionada
con un tipo de números figurados, aunque es posible obtener también su
término general a partir de los
Números triangulares
y los
Números Cuadrados
(cuadrados perfectos).
Solución:
La sucesión de números buscada es la de los
números pentagonales.
$$p_n=\left\{1,5,12,22,35, ... \right\}$$
No obstante, vamos a deducir la fórmula de su término general a partir de
las sucesiones de números triangulares y números cuadrados,
sucesiones de números figurados.
Sucesión de números triangulares:
$$t_n=\left\{0,1,3,6,10,15, ... \right\}$$
Su término general es:
$$t_n=\displaystyle{\frac{n(n+1)}{2}} \quad n \geq 0$$
$$t_0=\displaystyle{\frac{0 \cdot (0+1)}{2}}=\displaystyle{\frac{0 \cdot
1}{2}}=\displaystyle{\frac{0}{2}}=0$$
$$t_1=\displaystyle{\frac{1 \cdot (1+1)}{2}}=\displaystyle{\frac{1 \cdot
2}{2}}=\displaystyle{\frac{2}{2}}=1$$
$$t_2=\displaystyle{\frac{2 \cdot (2+1)}{2}}=\displaystyle{\frac{2 \cdot
3}{2}}=\displaystyle{\frac{6}{2}}=3$$
$$t_3=\displaystyle{\frac{3 \cdot (3+1)}{2}}=\displaystyle{\frac{3 \cdot
4}{2}}=\displaystyle{\frac{12}{2}}=6$$
$$\vdots$$
Sucesión de números cuadrados:
$$c_n=\left\{0,1,4,9,16,25, \cdots \right\}$$
Su término general es:
$$c_n=n^2 \quad n \geq 0$$
$$c_0=0^2=0$$
$$c_1=1^2=1$$
$$c_2=2^2=4$$
$$c_3=3^2=9$$
$$\vdots$$
El término general de la sucesión de números pentagonales es el siguiente:
$$p_n=\displaystyle{\frac{n(3n-1)}{2}} \quad n \geq 1$$
Vamos a obtenerlo a partir de las otras dos sucesiones anteriores del siguiente modo:
$$p_n=c_n+t_{n-1} \quad n \geq 1$$
$$p_n=n^2+\displaystyle{\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}}=$$
$$=n^2+\displaystyle{\frac{(n-1)n}{2}}=\displaystyle{\frac{2n^2}{2}}+\displaystyle{\frac{(n-1)n}{2}}=$$
$$=\displaystyle{\frac{2n^2+n^2-n}{2}}=\displaystyle{\frac{3n^2-n}{2}}=$$
$$=\displaystyle{\frac{n(3n-1)}{2}} \quad n \geq 1$$
Comop podemos comprobar, se obtienen los correspondientes términos de la
sucesión de los números pentagonales:
$$p_1=\displaystyle{\frac{1 \cdot (3 \cdot 1-1)}{2}}=\displaystyle{\frac{1
\cdot (3-1)}{2}}=\displaystyle{\frac{1 \cdot
2}{2}}=\displaystyle{\frac{2}{2}}=1$$
$$p_2=\displaystyle{\frac{2 \cdot (3 \cdot 2-1)}{2}}=\displaystyle{\frac{2
\cdot (6-1)}{2}}=\displaystyle{\frac{2 \cdot
5}{2}}=\displaystyle{\frac{10}{2}}=5$$
$$p_3=\displaystyle{\frac{3 \cdot (3 \cdot 3-1)}{2}}=\displaystyle{\frac{3
\cdot (9-1)}{2}}=\displaystyle{\frac{3 \cdot
8}{2}}=\displaystyle{\frac{24}{2}}=12$$
$$\vdots$$
