EL MOSAICO DE CUADRADOS (#05)

EL MOSAICO DE CUADRADOS: En este otro caso hemos invertido el problema. Se quiere saber de nuevo el número de cuadrados negros que pintaremos al continuar la serie. ¿Serías capaz de encontrar el término general de la sucesión que determina el número de cuadrados negros de las siguiente progresión?

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Pistas:

• Importan los cuadrados perfectos, los números pares y los impares.
• La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

  $$a_n=a_1+(n-1)d, \quad n \geq 1$$

• El cuadrado de una diferencia es:

  $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

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Solución:

Observa que el número de cuadrados negros coincide con los términos de una progresión aritmética de diferencia igual a 4 y cuyo primer término es el 1.

$$1, 5, 9, ...,$$

$$1, 5=1+4, 9=5+4, ...,$$

Usando la fórmula del término general de una progresión aritmética:

$$a_n=1+(n-1)4, \quad n \geq 1$$

$$a_n=4n-3, \quad n \geq 1$$

Si no te has dado cuenta de la progresión aritmética, podríamos haber llegado al mismo resultado por otro camino.

El número de cuadraditos de cada cuadrado grande de la sucesión son cuadrados perfectos de números impares consecutivos, comenzando en 1.

$$1, 9, 25, ...,$$

$$1=1^2, 9=3^2, 25=5^2, ...,$$

Los números impares son una progresión aritmética de diferencia \((d)\) igual a 2, cuyo primer término \((b_1)\), en nuestro caso, es el 1.

$$1, 3, 5, ...,$$

$$1, 3=1+2, 5=3+2, ...,$$

Usando la fórmula del término general de una progresión aritmética:

$$b_n=1+(n-1)2, \quad n \geq 1$$

$$b_n=1+2n-2, \quad n \geq 1$$

$$b_n=2n-1, \quad n \geq 1$$

Por tanto, elevando al cuadrado, el término genaeral buscado será:

$$c_n=(2n-1)^2, \quad n \geq 1$$

El número de cuadrados blancos de cada cuadrado grande de la sucesión son cuadrados perfectos de números pares consecutivos, comenzando en 0.

$$0, 4, 16, ...,$$

$$0=0^2, 4=2^2, 16=4^2, ...,$$

Los números pares son una progresión aritmética de diferencia \((d)\) igual a 2, cuyo primer término \((d_1)\), en nuestro caso, es el 0.

$$0, 2, 4, ...,$$

$$0, 2=0+2, 4=2+2, ...,$$

Usando la fórmula del término general de una progresión aritmética:

$$d_n=0+(n-1)2, \quad n \geq 1$$

$$d_n=2n-2, \quad n \geq 1$$

Por tanto, elevando al cuadrado, el término genaeral buscado será:

$$e_n=(2n-2)^2, \quad n \geq 1$$

El número de cuadrados negros se puede obtener como la diferencia entre el número de cuadraditos del cuadrado grande menos el número de cuadrados blancos.

$$a_n=c_n-e_n, \quad n \geq 1$$

$$a_n=(2n-1)^2-(2n-2)^2, \quad n \geq 1$$

Si desarrollamos su término general usando la identidad notable "cuadrado de una diferencia":

$$a_n=(2n)^2-2 \cdot 2n \cdot 1+1^2-((2n)^2-2 \cdot 2n \cdot 2+2^2), \quad n \geq 1$$

$$a_n=4n^2-4n+1-(4n^2-8n+4), \quad n \geq 1$$

$$a_n=4n^2-4n+1-4n^2+8n-4, \quad n \geq 1$$

$$a_n=4n-3, \quad n \geq 1$$

Y como puedes ver, llegamos al mismo resultado.