Dadas dos fracciones equivalentes \(\displaystyle{\frac{a}{b}}\) y
\(\displaystyle{\frac{c}{d}}\), \(a, b, c, d>0\), si sumamos los
numeradores y los denominadores, la fracción
\(\displaystyle{\frac{a+c}{b+d}}\) también es equivalente a las
anteriores.
Demostración:
Si las fracciones \(\displaystyle{\frac{a}{b}}\) y
\(\displaystyle{\frac{c}{d}}\) son equivalentes, se cumple que:
$$\displaystyle{\frac{a}{b}}=\displaystyle{\frac{c}{d}}$$
Multiplicando en cruz: $$a \cdot d = b \cdot c$$
Sumando \(a \cdot b\) en ambos miembros:
$$a \cdot b + a \cdot d = a \cdot b + b \cdot c$$
Aplicando la propiedad conmutativa del producto \(a \cdot b = b \cdot a\):
$$a \cdot b + a \cdot d = b \cdot a + b \cdot c$$
Sacando factor común \(a\) en el primer término y \(b\) en el segundo término:
$$a \cdot (b + d) = b \cdot (a + c)$$
Como \(a+c >0\) y \(b+d >0\), podemos expresarlo como una igualdad de
fracciones: $$\displaystyle{\frac{a}{b}}=\displaystyle{\frac{a+c}{b+d}}$$
Luego, las fracciones \(\displaystyle{\frac{a}{b}}\) y
\(\displaystyle{\frac{a+c}{b+d}}\) son equivalentes.
Dadas dos fracciones equivalentes \(\displaystyle{\frac{a}{b}}\) y
\(\displaystyle{\frac{a+c}{b+d}}\), \(a, b, c, d >0\), las fracciones
\(\displaystyle{\frac{a}{b}}\) y \(\displaystyle{\frac{c}{d}}\) son equivalentes.
Demostración:
Si las fracciones \(\displaystyle{\frac{a}{b}}\) y
\(\displaystyle{\frac{a+c}{b+d}}\) son equivalentes, se cumple que:
$$\displaystyle{\frac{a}{b}}=\displaystyle{\frac{a+c}{b+d}}$$
Multiplicando en cruz: $$a \cdot (b+d) = b \cdot (a+c)$$
Aplicando la propiedad distributiva del producto respecto a la suma: $$a
\cdot b + a \cdot d = b \cdot a + b \cdot c$$
Aplicando la propiedad conmutativa del producto \(a \cdot b = b \cdot
a\): $$a \cdot b + a \cdot d = a \cdot b + b \cdot c$$
Cancelando términos: $$a \cdot d = b \cdot c$$
Como \(b>0\) y \(d>0\), podemos expresarlo como una igualdad de
fracciones: $$\displaystyle{\frac{a}{b}}=\displaystyle{\frac{c}{d}}$$
Luego, las fracciones \(\displaystyle{\frac{a}{b}}\) y
\(\displaystyle{\frac{c}{d}}\) son equivalentes.
Tal y como queríamos demostrar.
