Fracciones equivalentes

• Dadas dos fracciones equivalentes $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ y $\displaystyle{\frac{c}{d}}$, $a, b, c, d>0$, si sumamos los numeradores y los denominadores, la fracción $\displaystyle{\frac{a+c}{b+d}}$ también es equivalente a las anteriores.

  Demostración:

  Si las fracciones $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ y $\displaystyle{\frac{c}{d}}$ son equivalentes, se cumple que: $$\displaystyle{\frac{a}{b}}=\displaystyle{\frac{c}{d}}$$
  Multiplicando en cruz: $$a \cdot d = b \cdot c$$
  Sumando $a \cdot b$ en ambos miembros: $$a \cdot b + a \cdot d = a \cdot b + b \cdot c$$
  Aplicando la propiedad conmutativa del producto $a \cdot b = b \cdot a$: $$a \cdot b + a \cdot d = b \cdot a + b \cdot c$$
  Sacando factor común $a$ en el primer término y $b$ en el segundo término: $$a \cdot (b + d) = b \cdot (a + c)$$
  Como $a+c >0$ y $b+d >0$, podemos expresarlo como una igualdad de fracciones: $$\displaystyle{\frac{a}{b}}=\displaystyle{\frac{a+c}{b+d}}$$
  Luego, las fracciones $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ y $\displaystyle{\frac{a+c}{b+d}}$ son equivalentes.
  
  
• Dadas dos fracciones equivalentes $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ y $\displaystyle{\frac{a+c}{b+d}}$, $a, b, c, d >0$, las fracciones $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ y $\displaystyle{\frac{c}{d}}$ son equivalentes.

  Demostración:

  Si las fracciones $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ y $\displaystyle{\frac{a+c}{b+d}}$ son equivalentes, se cumple que: $$\displaystyle{\frac{a}{b}}=\displaystyle{\frac{a+c}{b+d}}$$
  
  
  Multiplicando en cruz: $$a \cdot (b+d) = b \cdot (a+c)$$
  Aplicando la propiedad distributiva del producto respecto a la suma: $$a \cdot b + a \cdot d = b \cdot a + b \cdot c$$
  Aplicando la propiedad conmutativa del producto $a \cdot b = b \cdot a$: $$a \cdot b + a \cdot d = a \cdot b + b \cdot c$$
  Cancelando términos: $$a \cdot d = b \cdot c$$
  Como $b>0$ y $d>0$, podemos expresarlo como una igualdad de fracciones: $$\displaystyle{\frac{a}{b}}=\displaystyle{\frac{c}{d}}$$
  Luego, las fracciones $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ y $\displaystyle{\frac{c}{d}}$ son equivalentes.
  
  
  Tal y como queríamos demostrar.