Diagramas de Voronoi en la naturaleza y sus aplicaciones
En tiempos de sequía como los que corren en estos años, cada gota de agua es
necesaria y el ahorro de agua se hace imprescindible. Esa imagen que muestro
arriba es del río Tinto a su paso por Gadea, en la localidad de
la Palma del Condado (Huelva), pero podría haber sido perfectamente una
instantánea tomada en Doñana, donde hace no mucho desaparecía el último
humedal permanente que sobrevivía a la tremenda sequía que asola la comarca.
Ya no hay agua dulce natural en el espacio protegido más emblemático de
España, declarado Patrimonio de la Humanidad por la UNESCO (Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la
Cultura). Es un símbolo de los estragos por la falta de lluvia y la extracción de
agua de pozos ilegales que daña a gran cantidad de especies de fauna y flora,
algunas de las cuales podrían llegar a desaparecer.
Pero de manera directa no es de agua de lo que vamos a tratar en esta entrada
del blog, sino de los "Diagramas de Voronoi". Su nombre lo reciben en honor al matemático
ruso Gueorgui Feodósievich Voronoi
(1868-1908), y en nuestro caso particular tiene que ver con esa forma tan curiosa en la que la tierra se rompe
cuando hay escasez de agua.
Dado un conjunto de puntos en el plano,
el diagrama de Voronoi de ese conjunto de puntos es la división del plano
en regiones, de manera que, a cada punto de ese conjunto se le asigna una
región del plano formada por los puntos que están más cerca de él que de
cualquier otro punto del conjunto. Es decir, lo que hace el diagrama de Voronoi es dividir el plano en tantas
regiones como puntos tengamos, asignando a cada punto la región del plano
formada por todos los puntos que están más cerca de él que de ningún otro. El
concepto matemático con el que vamos a trabajar es sencillo, la
mediatriz de un segmento.
Vamos a ilustrarlo con unos ejemplos:
La mediatriz del segmento que une los puntos A y
B determinan los
puntos del plano situados a la máxima distancia de A y B a la vez.
Las intersecciones de las mediatrices de los segmentos que une los puntos A
y B, A y C y B y C
determinan los
puntos del plano situados a la máxima distancia de A, B y C a la vez.
Considerando ahora que el agua se concentra en esos 4 puntos, esas regiones
definen los puntos del plano situados a la máxima distancia de 2 de esos 4
puntos a la vez en todo momento.
El terreno se agrieta por esas líneas al estar lo más alejadas posible de
los puntos de concentración de agua, que son precisamente las
que determinan el Diagrama de Voronoi de ese conjunto de 4 puntos.
Mediante este applet de GeoGebra, vamos a calcular el Diagrama de Voronoi
asociado a un conjunto de 10 puntos como máximo. En el applet interactivo puedes colocar desde 1 hasta 10 puntos que simulan puntos de concentración de agua en el terreno y dibujar el diagrama de Voronoi asociado a ese conjunto de puntos. También de manera interactiva puedes modificar la ubicación de los puntos de concentración de agua (arrastrando y soltando el punto en otro lugar) y observar cómo se va modificando su diagrama de Voronoi.
En la naturaleza aparecen también los diagramas de Voronoi, por ejemplo, en la
pigmentación de la piel de las jirafas. Otras aplicaciones de los diagramas de
Voronoi que me parece muy interesante es a la robótica. Se usan los
diagramas de Voronoi para calcular la ruta a seguir por robots o drones a la
hora de evitar obstáculos, cuando lo hacen de manera autónoma, trazando un
camino lo más alejado posible de esos obstáculos.